求:xsinx/(1+(cos^2)x)在[0,pi]区间的定积分;谢了
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 15:43:23
求:xsinx/(1+(cos^2)x)在[0,pi]区间的定积分;谢了
用换元法
令t=x-pi/2
则原试变为:∫-pi/2到pi/2
(t+pi/2)sin(t+pi/2)/1+cos(t+pi/2)^2 dt
=∫-pi/2到pi/2 (t+pi/2)cost/1+sint^2 dt
=∫-pi/2到pi/2 tcost/1+(sint)^2 dt
+ ∫-pi/2到pi/2 pi/2 *cost/1+sint^2 dt
显然 tcost/1+(sint)^2为奇函数 故他的积分为零
而∫-pi/2到pi/2
pi/2*cost/1+sint^2 dt
=pi/2 ∫-pi/2到pi/2 1/1+sint^2 d sint
=pi/2 *( arctan(sint))-pi/2到pi/2
=pi/2 * (pi/4+pi/4)
=pi^2/4
即原式=pi^2/4
令t=x-pi/2
则原试变为:∫-pi/2到pi/2
(t+pi/2)sin(t+pi/2)/1+cos(t+pi/2)^2 dt
=∫-pi/2到pi/2 (t+pi/2)cost/1+sint^2 dt
=∫-pi/2到pi/2 tcost/1+(sint)^2 dt
+ ∫-pi/2到pi/2 pi/2 *cost/1+sint^2 dt
显然 tcost/1+(sint)^2为奇函数 故他的积分为零
而∫-pi/2到pi/2
pi/2*cost/1+sint^2 dt
=pi/2 ∫-pi/2到pi/2 1/1+sint^2 d sint
=pi/2 *( arctan(sint))-pi/2到pi/2
=pi/2 * (pi/4+pi/4)
=pi^2/4
即原式=pi^2/4
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