在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/02 16:34:21

在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点
（1）求证 EF⊥CD（2）在平面PAD内做一点G,是GF⊥平面PCB,并证明你的结论

PD⊥DC,
DC⊥AD,AD∩PD=D,
DC⊥平面PAD,
AP∈平面ABCD,
DC⊥AP,
E、F分别是PB和AB的中点,
EF是三角形PAB的中位线,
EF‖AP,
∴EF⊥CD.
（2）、取BD的中点H,连结FH,则FH是三角形PBD的中位线,EF‖PD,PD⊥平面ABCD,
EF⊥平面ABCD,
过H作GM平行AB,交AD于G,交BC于M,连结GF,
GH⊥AD,根据三垂线定理,GF⊥AD,
AD‖BC,
故GF⊥BC,设AB=1个单位,
PG=BG=√5/2,
三角形PGB是等腰三角形,F是PB的中点,GF⊥PB,
PB∩BC=B,
∴GF⊥平面PBC,即取AD的中点G,则GF⊥平面PBC.