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有两个正整数a、b,它们的平方和为5 8 5,而最大公约数与最小公倍数的和为87.则a+b=____

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 17:00:51
有两个正整数a、b,它们的平方和为5 8 5,而最大公约数与最小公倍数的和为87.则a+b=______.
设所求的正整数a<b,并设(a,b)=d,
则有a=dx,b=dy.且(x,y)=1.
于是,有[a,b]=dry.
依题意得

d2x2+d2y2=585   
d+dxy=87即

x2+y2=
585
d2
1+xy=
87
d.
因为585=32×5×13.而d2|585,所以,d=3.则x+y=11.xy=28.
解得x=4,y=7.故a=3×4=12,b=3×7=21.a+b=33.
故答案为33.