曲线积分、曲面积分的题:计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 18:27:26
曲线积分、曲面积分的题:计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积
直接算的话,有些困难,可以这样弄,
找一个始终垂直于圆柱面x^2+y^2=R^2且强度为1的
场源E=(x/√(x^2+y^2) ,y/√(x^2+y^2),0)
然后求出他们通过所截圆柱面的通量,因为通量=∫∫E*ds=1∫∫ds=S
所以 通量即为面积
在柱面∑1:x^2+y^2=R^2,xOy平面∑2,及柱面∑3:z=R+x^2/R所围成曲面∑,
∫∫∑ (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz+y/√(x^2+y^2)dzdx+0dxdy
(高斯公式)
=∫∫∫(1/√(x^2+y^2))dxdydz
=∫∫∫drdθdz
=∫(0->2π)dθ∫(0->R)dr∫(0->R+r^2(cosθ)^2/R)dz
=7πR^2/3
因为∫∫∑1+∑2+∑3 (Eds)=∫∫∑ (Eds)=7πR^2/3
且易得,∫∫∑2 (Eds)=0
下面求∫∫∑3 (Eds)
由于∑3在xoz面的投影面积为0,所以dxdz=0
所以∫∫∑3 (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz =∫∫[(x/√(x^2+y^2))*(-2x/R)]dxdy
=(-2/R)∫∫(rcosθ)^2drdθ
=-2πR^2/3
所以∫∫∑1 (Eds)=∫∫∑ (Eds)-∫∫∑2 (Eds)-∫∫∑3 (Eds)=(7πR^2/3)-(-2πR^2/3)
=3πR^2
所求曲面的面积为S=3πR^2
思路清晰的话,差不多都是圆域积分,用极坐标做,计算量不大
再问: 高斯公式我们没学过啊 还有场源又是什么 大神有没有简单点这节的方法啊
再答: 我再想想,应该有简单的方法的。。。
也可以这样做的,如果把所求曲面侧面展开的话,可以看做一个以圆x^2+y^2=R^2为底边,以z=R+x^2/R为高的曲边梯形。根据微积分,底边l的微元dl=√(1+(y')^2)dx=R/√(R^2-x^2) dx
所求面积S=∫hdl=∫zdl=∫(R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx
根据对称性S=4∫(0->R) (R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx=3πR^2
再问: ~\(≧▽≦)/~耶 这次的作业终于要做完了感谢!!!!
再答: 采纳吧亲
找一个始终垂直于圆柱面x^2+y^2=R^2且强度为1的
场源E=(x/√(x^2+y^2) ,y/√(x^2+y^2),0)
然后求出他们通过所截圆柱面的通量,因为通量=∫∫E*ds=1∫∫ds=S
所以 通量即为面积
在柱面∑1:x^2+y^2=R^2,xOy平面∑2,及柱面∑3:z=R+x^2/R所围成曲面∑,
∫∫∑ (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz+y/√(x^2+y^2)dzdx+0dxdy
(高斯公式)
=∫∫∫(1/√(x^2+y^2))dxdydz
=∫∫∫drdθdz
=∫(0->2π)dθ∫(0->R)dr∫(0->R+r^2(cosθ)^2/R)dz
=7πR^2/3
因为∫∫∑1+∑2+∑3 (Eds)=∫∫∑ (Eds)=7πR^2/3
且易得,∫∫∑2 (Eds)=0
下面求∫∫∑3 (Eds)
由于∑3在xoz面的投影面积为0,所以dxdz=0
所以∫∫∑3 (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz =∫∫[(x/√(x^2+y^2))*(-2x/R)]dxdy
=(-2/R)∫∫(rcosθ)^2drdθ
=-2πR^2/3
所以∫∫∑1 (Eds)=∫∫∑ (Eds)-∫∫∑2 (Eds)-∫∫∑3 (Eds)=(7πR^2/3)-(-2πR^2/3)
=3πR^2
所求曲面的面积为S=3πR^2
思路清晰的话,差不多都是圆域积分,用极坐标做,计算量不大
再问: 高斯公式我们没学过啊 还有场源又是什么 大神有没有简单点这节的方法啊
再答: 我再想想,应该有简单的方法的。。。
也可以这样做的,如果把所求曲面侧面展开的话,可以看做一个以圆x^2+y^2=R^2为底边,以z=R+x^2/R为高的曲边梯形。根据微积分,底边l的微元dl=√(1+(y')^2)dx=R/√(R^2-x^2) dx
所求面积S=∫hdl=∫zdl=∫(R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx
根据对称性S=4∫(0->R) (R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx=3πR^2
再问: ~\(≧▽≦)/~耶 这次的作业终于要做完了感谢!!!!
再答: 采纳吧亲
计算曲面积分∫∫1/(x^2+y^2+z^2)ds,其中S是介于平面z=0及z=H之间的圆柱面x^2+y^2=R^2.(
计算曲面积分ds/x^2+y^2+z^2.其中L是介于平面z=0及z=h之间的圆柱面x^2+y^2=R^2
计算曲面积分(如图),其中∑是介于平面Z=0和Z=H(H>0)之间的圆柱面x^2+y^2=R^2
计算对面积的曲面积分zds 圆柱面x^2+y^2=1介于平面z=0 和z=3之间的部分
计算曲面积分I=∫∫ydxdz+(z+1)dxdy 其中Σ是圆柱面 x^2+y^2=R^2被x+z=
求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分),
高数题设曲面∑为柱面x^2+y^2=1介于平面z=-2与z=2之间的部分,则曲面积分∫∫(∑)(x^2+yz+y^2)d
求曲面积分zdS,Σ是圆柱面x^2+y^2=1,平面z=0和z=1+x所围立体的表面
计算曲面积分如图其中曲面是柱面x^2+y^2=1被平面z=0和z=3所截得的在x》=0的部分,取外侧
一道求曲面积分的题求平面10x+50y+10z=100被柱面X^2+Y^2=9所截的有限部分的面积.自己又想了一遍,lx
曲面z=(x^2+y^2) 被柱面^2+y^2=4及xoy平面所围成的立体体积
曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-