作业帮dy/dx=e^(-x^2)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/09 10:46:23
dy/dx=e^(-x^2)
唔,这个题实际上就是对e^(-x^2)求积分呢.
这个就是传说中积不出来的类型呢,不用费心去积分了哈.
当然如果此题是广义积分的话,可以有以下解法,下面回答来源于考研吧
法一：不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方：（以下省略积分限）
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-(x^2+y^2))dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
极坐标代换
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] ,然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将矩形区域夹在两个圆形区域之间来解决这个问题.
法二：用概率论里面的标准正态分布来配
这个就是传说中积不出来的类型呢,不用费心去积分了哈.
当然如果此题是广义积分的话,可以有以下解法,下面回答来源于考研吧
法一：不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方：（以下省略积分限）
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-(x^2+y^2))dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
极坐标代换
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] ,然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将矩形区域夹在两个圆形区域之间来解决这个问题.
法二：用概率论里面的标准正态分布来配