数学难题：求夹角的余弦值是多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 19:15:56

数学难题：求夹角的余弦值是多少?
从空间一定点O引四条射线OA、OB、OC、OD使其任何两条射线的夹角都相等,求夹角的余弦值是多少?
因本人已有四十五年没研究过解析几何了故忘了很多！就连基本的余弦定理公式都忘了！本题其实不难，谁告诉我余弦定理的计算公式如已知三边a,b,c的长度，求角A的余弦值，那么本老头就一定会解决这个问题，请回答者告诉我公式吧！因我懒得去借书。
谢谢二楼！若三天内还无人解答此题那只好自己解决了！按二楼提供的公式这个夹角的余弦值应是-1/3。本题无需动用到球的知识，只用勾股定理与余弦定理即可解决问题。设O为棱长为1的正三棱锥的高DE上的点，作EF⊥AB交于F，连结AO、FO。则AE=√3/3,DE=√6/3,EF=√3/6。AF=1/2。设OE=x,则OD=AO=√6/3-x,利用FO为中介列方程(√6/3-x)^2-(1/2)^2=x^2+(√3/6)^2解得x=√6/12,则OD=AO=√6/3-√6/12=√6/4故夹角AOD的余弦值=[(√6/4)^2+(√6/4)^2-1^2]/[2*(√6/4)*√6/4)]=-1/3。这是学生在没有学到球的有关知识之前的解答方法。在这里谢谢各位大师积极参与！

O为正三棱锥外接球心
　　外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4处
　　相关计算：因为正三棱锥底面为正三角形,所以高线位于任意顶点与底边中点连线,又三线合一,所以重心位于高线距顶点2/3处,即可算出顶点与重心的距离,又知正三棱锥边长,即可根据勾股定理算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度,即可算出顶点与球心的距离（即外接球半径）.
具体计算
设正三棱锥棱长为1
顶点与底面重心的连线根号（2/3）
OA=3/4* 根号（2/3）
余弦定理
三角形OAB
OA=OB=3/4* 根号（2/3）
AB=1
角AOB为a
cosa = (OA² + OB² - AB²) / (2·OA·OB) =-1/3
再问：首先肯定你的答案是正确的！但中学生对你所说的O为正三棱锥外接球心和外接球心在顶点与底面重心的连线距顶点3/4处难以信服，必须证明给他们看这很烦。用初中勾股定理证明较容易。
再答：恩，这个确可以可以通过勾股定理顶点与球心的距离（即外接球半径）。

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