作业帮考研高数~关于三重积分、曲线积分和曲面积分
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 09:50:11
考研高数~关于三重积分、曲线积分和曲面积分
什么情况下要用极坐标系?什么情况下要用直角坐标系?还有就是曲线积分和曲面积分的对称性什么时候用?什么情况用?给个具体系统的解答
什么情况下要用极坐标系?什么情况下要用直角坐标系?还有就是曲线积分和曲面积分的对称性什么时候用?什么情况用?给个具体系统的解答
你问的比较笼统
一般来说,是不是要用极坐标要从两个方面去看.
第一,看积分区域
边界曲线在极坐标系下方程的形式比较简单,也就是说转化为极坐标后能方便计算的,比如：
过坐标原点的圆 x^2+y^2=R^2,x^2+y^2=2Rx,x^2+y^2=2Ry；
或者本来就是极坐标系的典型曲线转化过来,比如
双纽线 (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2),(x^2+y^2)^2=(a^2)xy,
心形线 (x^2-ax+y^2)^2=(a^2)(x^2+y^2).
这些用极坐标就比较适合.
第二,看被积函数
被积函数含有函数因子（或中间变量）：x^2+y^2,y/x,xy,……等.
如果被积函数的形式是类似于x^2+y^2或其他类似的形式,转换成极坐标都比较方便.
如果不是以上情况的,除去一些利用对称性,奇偶性等特殊做法,都用直角坐标.
第2个问题你问的更笼统,其实这个你多做题应该是能感觉到的,因为具体的题目有具体的要求,我大概总结出这么几点：
1.计算的时候化简,有些题是给你的被积函数一个分式的形式,你通过拆分后,其中一个分式可以利用奇函数对称性直接得到结果为0,使计算化简.
2.选择题直接要求：可能是判断积分大小,或者是利用对称性判断对错等,花样很多但万变不离其宗,多看看真题里的形式.
3.证明题：可以利用对称性变换积分的形式,使之满足证明题的某些需求.
总结出一点就是：如果考题中的某道积分能够利用到对称性的,不管三七二十一一定要用,绝对是你完成下一步的前提.
一般来说,是不是要用极坐标要从两个方面去看.
第一,看积分区域
边界曲线在极坐标系下方程的形式比较简单,也就是说转化为极坐标后能方便计算的,比如：
过坐标原点的圆 x^2+y^2=R^2,x^2+y^2=2Rx,x^2+y^2=2Ry；
或者本来就是极坐标系的典型曲线转化过来,比如
双纽线 (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2),(x^2+y^2)^2=(a^2)xy,
心形线 (x^2-ax+y^2)^2=(a^2)(x^2+y^2).
这些用极坐标就比较适合.
第二,看被积函数
被积函数含有函数因子（或中间变量）：x^2+y^2,y/x,xy,……等.
如果被积函数的形式是类似于x^2+y^2或其他类似的形式,转换成极坐标都比较方便.
如果不是以上情况的,除去一些利用对称性,奇偶性等特殊做法,都用直角坐标.
第2个问题你问的更笼统,其实这个你多做题应该是能感觉到的,因为具体的题目有具体的要求,我大概总结出这么几点：
1.计算的时候化简,有些题是给你的被积函数一个分式的形式,你通过拆分后,其中一个分式可以利用奇函数对称性直接得到结果为0,使计算化简.
2.选择题直接要求：可能是判断积分大小,或者是利用对称性判断对错等,花样很多但万变不离其宗,多看看真题里的形式.
3.证明题：可以利用对称性变换积分的形式,使之满足证明题的某些需求.
总结出一点就是：如果考题中的某道积分能够利用到对称性的,不管三七二十一一定要用,绝对是你完成下一步的前提.