(2013•新疆)如图,已知⊙O的半径为4,CD是⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/14 11:45:51
(2013•新疆)如图,已知⊙O的半径为4,CD是⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)求弦AC的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)求弦AC的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
(1)证明:如图,连接OA.
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线;
(2)如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD=
1
2CD=4,
则根据勾股定理知AC=
CD2−AD2=4
3,即弦AC的长是4
3;
(3)由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4
3,则S△ADC=
1
2AD•AC=
1
2×4×4
3=8
3.
∵点O是△ADC斜边上的中点,
∴S△AOC=
1
2S△ADC=4
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线;
(2)如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD=
1
2CD=4,
则根据勾股定理知AC=
CD2−AD2=4
3,即弦AC的长是4
3;
(3)由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4
3,则S△ADC=
1
2AD•AC=
1
2×4×4
3=8
3.
∵点O是△ADC斜边上的中点,
∴S△AOC=
1
2S△ADC=4
如图,已知圆O的半径为4,CD是圆O的直径,AC为圆O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC
如图,已知CD为圆O的直径,点A为DC延长线上一点,B为圆O上一点,且∠ABC=∠D,求证:(1)AB为圆O的切线
如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,F为CD延长线上一点,AF交⊙O于点G,求证:AC²=AG·A
如图,已知AB是圆o的直径,P为延长线上的一点,pc切圆o于c,cd垂直ab于d,又pc=4圆o的半径为3,求cd的长度
如图,已知AB是⊙O的直径,P为BA延长线上一点,PC切⊙O于C,若⊙O的半径是4cm,∠P=30°,则PC=_____
如图,D为圆O上一点,点C在直径BA的延长线上,∠CDA=∠CBD.CD是圆O的切线,DO为半径,过点B作圆O的切线交C
如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为G,F是CD延长线上的一点,AF交⊙O于点E,连接CE.若CF=10,ACA
CD是⊙O的直径,E为⊙O上一点,∠EOD=48°,A为DC延长线上一点,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数
如图,CD是⊙O的直径,A为DC延长线上一点,AE交⊙O于B,连OE,∠A=20°,AB=OC,求证①AD>AE②AB>
如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,∠ACD=120°,CD是⊙O的切线:若⊙O的半径为2
如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上的一点,CD交⊙O于点D,且∠A=∠C=30°.
已知:如图,AB是圆O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,F为CD延长线上一点,连接AF交圆O于M.求证∠AMD=∠FM