双曲线为什么a平方+b平方=c平方

双曲线为什么a平方+b平方=c平方
注意：要写出为什么

这是双曲线的定义有关
双曲线的第二定义：
平面内一个动点（x,y）到一个定点(c,0)与一条定直线（x=a^2/c）的距离之比是一个大于1的常数.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.
设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,
则由 |MF|/d=e>1.
推导出的双曲线的标准方程为
x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1
其中c^2-a^2=b^2
所以有 c^2=a^2+b^2
数学上指一动点移动于一个平面上,与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a1}表示的点集是双曲线.
注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.
3.标准方程
设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,
则由 |MF|/d=e>1.
推导出的双曲线的标准方程为
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.
而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:
(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）.
2、对称性：关于坐标轴和原点对称.
3、顶点：A(-a,0),A’(a,0).同时 AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a.
B(0,-b),B’(0,b).同时 BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e）
令θ=0,得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标.
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、离心率：
第一定义：e=c/a 且e∈（1,+∞).
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共轭双曲线
双曲线S’的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S’的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S’与双曲线S为共轭双曲线.
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]
12、弦长公式：
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
[编辑本段]·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c