式子转化:y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/04 04:01:09
式子转化:y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)
y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx) 原方程可写成dy/dx=y^2/(xy-x^2) 对怎么分离dy/dx和y^2/(xy-x^2) 能说下吗,
y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx) 原方程可写成dy/dx=y^2/(xy-x^2) 对怎么分离dy/dx和y^2/(xy-x^2) 能说下吗,
dy/dx=y^2/(xy-x^2),分子分母同时除以x^2
即dy/dx=(y/x)^2 / (y/x -1)
这时令y/x=u,
那么y=ux,所以dy/dx=u+x*du/dx,
代入得到u+x*du/dx= u^2/(u-1),
即x*du/dx=u/(u-1),
所以(1 -1/u)*du=1/x *dx,
两边积分得到u-lnu =lnx+C,(C为常数)
即u=ln(ux),带回y/x=u,
故y/x=lny+C,(C为常数) 隐函数也不必再化简了
对于这种可以转换得到dy/dx=f(y/x)形式的微分方程称为齐次方程,
就是要令u=y/x,这样转换来解
再问: 其实想问的是y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx),y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2) 这个移项的过程原来不明,不过现在知了,不过也谢谢了
再答: 是的, 由y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)得到y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2)
再问: 还有个问题,希望能解答下∫dy/ylny=∫dx/x 解出 ln|lny|=ln|x|+lnc ∫dx/x 解出不是ln|x|+c ? 为什么是 ln|x|+lnc ?
再答: 这两种写法都是可以的呢, 你想,c是一个常数,那么lnc当然也是一个常数, 所以 ∫dx/x =ln|x|+c 或者写成 ∫dx/x =ln|x|+lnc 当然都是可以的 在这里这样写主要就是为了后面的计算方便, ln|lny|=ln|x|+lnc,两边同时e次幂, 即|lny|=e^(ln|x|+lnc)=c*|x| 如果是写ln|lny|=ln|x|+c的话 就得到|lny|=e^(ln|x|+c)=(e^c) *|x| 看起来麻烦一些 常数是可以变异的,要有这个概念
即dy/dx=(y/x)^2 / (y/x -1)
这时令y/x=u,
那么y=ux,所以dy/dx=u+x*du/dx,
代入得到u+x*du/dx= u^2/(u-1),
即x*du/dx=u/(u-1),
所以(1 -1/u)*du=1/x *dx,
两边积分得到u-lnu =lnx+C,(C为常数)
即u=ln(ux),带回y/x=u,
故y/x=lny+C,(C为常数) 隐函数也不必再化简了
对于这种可以转换得到dy/dx=f(y/x)形式的微分方程称为齐次方程,
就是要令u=y/x,这样转换来解
再问: 其实想问的是y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx),y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2) 这个移项的过程原来不明,不过现在知了,不过也谢谢了
再答: 是的, 由y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)得到y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2)
再问: 还有个问题,希望能解答下∫dy/ylny=∫dx/x 解出 ln|lny|=ln|x|+lnc ∫dx/x 解出不是ln|x|+c ? 为什么是 ln|x|+lnc ?
再答: 这两种写法都是可以的呢, 你想,c是一个常数,那么lnc当然也是一个常数, 所以 ∫dx/x =ln|x|+c 或者写成 ∫dx/x =ln|x|+lnc 当然都是可以的 在这里这样写主要就是为了后面的计算方便, ln|lny|=ln|x|+lnc,两边同时e次幂, 即|lny|=e^(ln|x|+lnc)=c*|x| 如果是写ln|lny|=ln|x|+c的话 就得到|lny|=e^(ln|x|+c)=(e^c) *|x| 看起来麻烦一些 常数是可以变异的,要有这个概念