如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点，且|AO|=2|OD|，过O的直线交边AB于M，交边AC于N

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/19 13:41:00

如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点，且|AO|=2|OD|，过O的直线交边AB于M，交边AC于N，记∠AOM=θ，
（1）则θ的取值范围为

[

（1）由题意可得，点O为等边三角形ABC的重心，
当点N与点C重合时，MN与AB垂直，M为AB的中点，OM取得最小值，
此时，θ最小，由cosθ=
MO
AO=
1
2，可得θ=
π
3．
当M与B重合时，此时，MN垂直于AC，θ取得最大值，由于cos（π-θ）=
ON
AO=
1
2，可得θ=
2π
3．
综上可得，θ的取值范围为[
π
3，
2π
3]．
（2）由题意可得，AO=
2
3AD=
2
3×

3
2=

3
3；设∠ANO=α，则∠AMO=
2π
3-α．
△ANO中，由余弦定理可得
ON
sin30°＝
AO
sinα，解得 ON=

3
6sinα．
同理求得 OM=

3
6Sin(
2π
3−α)．
∴
1
|OM|2+
1
|ON|2=
36sin2(
2π
3−α)
3+
36sin2α
3
=12×
1−cos(
4π
3−2α)
2+12×
1−cos2α
2=12-6[cos（
4π
3-2α）+cos2α]
=12+6cos（2α+
π
3）．
由（1）可得
π
3≤
5π
6-（
2π
3−α）≤
2π
3，可得
π
3≤2α≤π，
∴
2π
3≤2α+
π
3≤π+
π
3，
-1≤cos（2α+
π
3）≤-
1
2，故当2α+
π
3=π 时，cos（2α+
π
3）取得最小值为-1，
12+6cos（2α+
π
3）取得最小值为 12-6=6，
故答案为 6．

已知点M是△ABC的中线AD上的一点,直线BM交边AC于点N,且AB是△NBC的外接圆的切线,设BC/BN=k,试求BM 如图,D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点,AD的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,且BC=1 &n D为等腰三角形ABC的直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC,AD,AB于F,O,E,BC=2 已知AD为三角形ABC的一条中线,点E在边AC上,且满足向量AE=1/4向量AC,AD和BE交于点O,若以向量AB和BC 已知△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且AD/BD=AE/CE=n,CD交BE于O,连AO并延长交BC于F,当n 以三角形ABC的BC边为直径的圆O交AB于G,AD切圆O于D,在AB上取AE=AD,作EF垂直AB且与AC延长线交于点F 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线,AB的垂直平分线EF交AD于点O,∠B的平分线BI交AD于点I.探如图,AD是△ABC的边BC上的中线,过D点的直线EF交边AC于点E,交AC的平行线BF于点F,DG⊥EF交AB于点G, 点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上的一点,AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F,且BC=2 点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F,且BC=2．点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC,AD,AB,于E,O,F且BC=2 点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC.AD.AB于E.O.F,且BC=2