(2011•东城区二模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,D,E分别为BC,BB1的中点,四边形B
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/27 10:42:15
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(Ⅰ)求证:A1B∥平面AC1D;
(Ⅱ)求证:CE⊥平面AC1D;
(Ⅲ)求二面角C-AC1-D的余弦值.
证明:
(Ⅰ)连接A1C,与AC1交于O点,连接OD.
因为O,D分别为AC1和BC的中点,
所以OD∥A1B.
又OD⊂平面AC1D,A1B⊄平面AC1D,
所以A1B∥平面AC1D.(4分)
证明:(Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
所以BB1⊥AD.
因为AB=AC,D为BC中点,
所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面B1BCC1.
又CE⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥CE.
因为四边形B1BCC1为正方形,D,E分别为BC,BB1的中点,
所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.
所以∠BCE+∠C1DC=90°.
所以C1D⊥CE.
又AD∩C1D=D,
所以CE⊥平面AC1D. (9分)
(Ⅲ)如图,以B1C1的中点G为原点,建立空间直角坐标系.
则A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C1(-3,0,0).
由(Ⅱ)知CE⊥平面AC1D,所以
CE=(6,−3,0)为平面AC1D的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面ACC1的一个法向量,
AC=(−3,0,−4),
CC1=(0,−6,0).
由
n•
AC=0
n•
CC1=0.可得
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因为O,D分别为AC1和BC的中点,
所以OD∥A1B.
又OD⊂平面AC1D,A1B⊄平面AC1D,
所以A1B∥平面AC1D.(4分)
证明:(Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
所以BB1⊥AD.
因为AB=AC,D为BC中点,
所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面B1BCC1.
又CE⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥CE.
因为四边形B1BCC1为正方形,D,E分别为BC,BB1的中点,
所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.
所以∠BCE+∠C1DC=90°.
所以C1D⊥CE.
又AD∩C1D=D,
所以CE⊥平面AC1D. (9分)
(Ⅲ)如图,以B1C1的中点G为原点,建立空间直角坐标系.
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/9f/39f1a604272658ed910228d337cd1cf2.jpg)
由(Ⅱ)知CE⊥平面AC1D,所以
CE=(6,−3,0)为平面AC1D的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面ACC1的一个法向量,
AC=(−3,0,−4),
CC1=(0,−6,0).
由
n•
AC=0
n•
CC1=0.可得
在直棱柱abc——a1b1c1中 ab=ac d e分别为bc bb1的中点 四边形b1bcc1是正方形
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,BC=BB1,D为AB的中点.
(2011•江苏二模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D是BC的中点,E为
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.
如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,且AC=BC=BB1
已知直三棱柱中在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC的中点,求证:
如图,直三棱柱ABC–A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明BC1//平面A1CD(2)设AA1=AC
在直三棱柱ABC-A1B1C1(直棱柱指侧棱垂直于底面),AB=BB1=BC,∠ABC是直角,D为AC的中点.
如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,分别是棱AB,BB1的中点,
如图:直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°.E为BB1的中点,D点在AB上且DE=3
(2006•南汇区二模)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°.E为BB1的中点
(2014•奉贤区二模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.四面体B