数列{an}中,a1=2,a(1+n)-4an-3n+1,n属于正整数.求证不等式S(n+1)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/07 17:53:25

证明：
a1=2,a(n+1)=4*an-3n+1
设a(n+1)-[p*(n+1)+q]=4*[an-(pn+q)]
a(n+1)=4*an+[p*(n+1)+q]-4(pn+q)
a(n+1)=4*an+(-3p)n+(p-3q)
所以-3p=-3,p-3q=1
解得p=1,q=0
所以a(n+1)-(n+1)=4*[an-n],n≥1,n是整数
a1 -1=1
所以{an -n}是一个以a1 -1为首项,公比为4的等比数列
所以an -n=(a1 -1)*4^(n-1)=4^(n-1),n≥1,n是整数
所以an=n+4^(n-1)
Sn=(1+n)n/2 +1*(1-4^n)/(1-4)
=(n+1)n/2 +(4^n -1)/3
S(n+1)=(n+1)(n+2)/2 +[4^(n+1) -1]/3
∴S(n+1)-4Sn
=(n+1)(n+2-4n)/2 +[4^(n+1) -1-4^(n+1)+4]/3
=(n+1)(2-3n)/2 +1
=(-n+2-3n²+2)/2
=-(3n²+n-4)/2
此函数若看做二次函数,容易知道对称轴是x=-1/6,开口向下,
所以在（-1/6,+∞)上递减
因为n是正整数,n=1时,式子=0
所以n＞1时,值小于0
即对正整数n,
S(n+1)-4Sn≤0
即使S(n+1)≤4Sn恒成立,
得证

在数列｛an｝中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于正整数 (1)证明｛an-n｝是等比数列 (2)求数列｛a 数列证明,求通项公式已知数列{an}中,a1=1/3,an*a(n-1)=a(n-1)-an（n>=2,n属于正整数）, 在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数）,证明数列{an-n}是等比数列 2道高一数列题!1.已知数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,n属于N*（1）求证数列{an-n}是已知数列an中,a1=3/16,an=3/8+a(n-1)^2,其中n>=2,n属于N求证,0 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=3an+2(n属于N) 1.求证数列{an+1}是等比数列 2.求{an}的在数列an中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,求证数列a(n)-n是等比数列已知数列an中,a1=5,且an=2a(n-1)+2^n-1(n大于等于2,n属于正整数）设数列{An}满足A1+3A2+3^2*A3+...+3^(n-1)*An=n/3,a属于正整数. 在数列an中a1=2,a（n+1）下标=4an-3n+1 1设bn=an-n求证bn是等比数列 2求数列an的前n项和s 在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+n-1(n属于正整数). 已知数列{An}满足A1=1/4,An=1/2A(n-1)-3/8 (n属于正整数,n大于等于2)