二次函数分类?RT
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/23 16:12:52
二次函数分类?
RT
RT
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b^2;/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤:
二次函数(16张) ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向.a>0时,开口方向向上;a0时,函数图像与x轴有两个交点. 当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点. 当△=b^2-4ac0时,二次函数图像向上开口;当a0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,与b异号时(即ab0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0;k0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向 上,函数的值域是y>k 当ah范围内事增函数,在 x0且X≦(X1+X2)/2时Y随X 的增大而减小 此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连 用). 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式.两交点X值就是相应X1 X2值.
编辑本段两图像对称
对于一般式: ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称 ④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称. 对于顶点式: ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称 ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称 ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称 ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k关于原点对称. (其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
编辑本段二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根. 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根. 1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax&^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象 当h>0,k0,k
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b^2;/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤:
二次函数(16张) ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向.a>0时,开口方向向上;a0时,函数图像与x轴有两个交点. 当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点. 当△=b^2-4ac0时,二次函数图像向上开口;当a0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,与b异号时(即ab0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0;k0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向 上,函数的值域是y>k 当ah范围内事增函数,在 x0且X≦(X1+X2)/2时Y随X 的增大而减小 此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连 用). 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式.两交点X值就是相应X1 X2值.
编辑本段两图像对称
对于一般式: ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称 ④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称. 对于顶点式: ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称 ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称 ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称 ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k关于原点对称. (其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
编辑本段二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根. 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根. 1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax&^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象 当h>0,k0,k