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函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,则a的取值范围是______.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 21:50:58
函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,则a的取值范围是______.
由题意,得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,
∴a>-
1+2x
4x在x∈(-∞,1]上恒成立.
又∵t=-
1+2x
4x=-(
1
2)2x-(
1
2)x=-[(
1
2)x+
1
2]2+
1
4,
当x∈(-∞,1]时t的值域为(-∞,-
3
4],
∴a>-
3
4;
即a的取值范围是(-
3
4,+∞);
故答案为:(-
3
4,+∞).