高阶无穷小为什么可以省去?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 04:12:40

高阶无穷小为什么可以省去?
在积分定义里,本来那个和只是面积的近似值,然后求极限以后就变成精确值了?书上说把整个面积分成若干个小曲边梯形的面积,每个小曲边梯形近似用一个矩形代替,他们只相差一个dx的高阶无穷小.但是求和以后就有无穷多个高阶无穷小,无穷多个高阶无穷小加起来再取极限并不一定等于零啊?

楼主是我的知己!我前几天正好证明了这个问题,晚上回来看答案咯!
首先,请楼主在草稿纸上面画出XOY坐标,然后在上面随意画一个曲线围成的封闭区域,我们把它叫做区域D
假设这个封闭区域的面积是S(D),边长为L(D)
现在我们要证明定理1:
如果用平行于X轴和Y轴的等距平行线将坐标系进行划分,那么当这个划分达到无限细时,落在D内部的小正方形面积的极限就是区域D的面积.(用脑袋想象以下哦,实际上这也是求2重积分时我们能用dxdy近似的表示积分区域的原因)
楼主的定理可以看作是定理1的一个特例,在证明定理1之前,我们首先证明定理1能够推出楼主所求
证的定理.
定理0:(楼主的定理)
设连续函数在定义域为[x0,x1]内,我们把曲线y=f(x),x=x0,x=x1,以及x轴围成的闭区域称为D,令其面积S(D),用平行于y轴等距平行线划分该区域,所得的所有小矩形的和记为∑si,当平行线的距离无限小时,必有lim∑si=S(D).
如果已经得到定理1,那么我们可以这样划分正方形:在定理0中的小矩形划分完成后,就根据这个划分的宽度,我
们保留这些平行线,在作出与x平行的等距划分,这样,小正方形的边长和小矩形的宽度相等,并且任何一个小正方
形都在小矩形内部.显然能看出,小矩形的面积和∑Si>=正方形的面积和∑Sz,也就是 ∑Sza
.+ln >a
l(n-1)+l(n)+l1+l2 >a
ln+l1+l2+l3 >a
注意每个li出现了4次
所有的左边和右边相加,得:
4L(D)>n*a (1)
对于固定的闭区域,其边长L可以看作常数,因此有
n < k/a (k为常数,a为正方形边长)(2)
假设对于第1次划分,得到边界正方形了个数为n1,内部正方形个数为m1,正方形边长为a1
第2划分原则是:边长变为原来的1半,于是1个正方形变成了4个正方形,所以
m2>=4m1 (因为原来在边界上的有可能被划进来了,所以m个数只会增加)
n2

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