(2006•南京二模)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面的中心,且A1在底
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/13 18:39:34
(2006•南京二模)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD的射影是O.
(Ⅰ)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若点E,F分别在棱上AA1,BC上,且AE=2EA1,问点F在何处时,EF⊥AD;
(Ⅲ)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的大小(用反三角函数表示).
(Ⅰ)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若点E,F分别在棱上AA1,BC上,且AE=2EA1,问点F在何处时,EF⊥AD;
(Ⅲ)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的大小(用反三角函数表示).
(Ⅰ)连AC,BD,A1C1,则O为AC,BD的交点,
O1为A1C1,B1D1的交点.
由平行六面体的性质知:A1O1||OC且A1O1=OC
∴四边形A1OCO1为平行四边形,A1O||O1C
又∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD
又∵O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD
(Ⅱ)作EH⊥平面ABCD,垂足为H,则EH||A1O,点H在直线AC上,
且EF在平面ABCD上的射影为HF.
由三垂线定理及其逆定理,知EF⊥AD⇔FH||AB∵AE=2EA1,∴AH=2HO,从而CH=2AH.又∵HF||AB,∴CF=2BF
从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点(靠近B)时,有EF⊥AD
(III)过点O作OM⊥AA1,垂足为M,连接BM.∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO.由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA1-B的平面角.
在Rt△AMB中,∠MAB=60°,∴MB=
3
2AB
又∵BO=
2
2AB,∴sin∠OMB=
6
3∴∠OMB=arcsin
6
3
二面角C-AA1-B的大小为arcsin
6
3
O1为A1C1,B1D1的交点.
由平行六面体的性质知:A1O1||OC且A1O1=OC
∴四边形A1OCO1为平行四边形,A1O||O1C
又∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD
又∵O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD
(Ⅱ)作EH⊥平面ABCD,垂足为H,则EH||A1O,点H在直线AC上,
且EF在平面ABCD上的射影为HF.
由三垂线定理及其逆定理,知EF⊥AD⇔FH||AB∵AE=2EA1,∴AH=2HO,从而CH=2AH.又∵HF||AB,∴CF=2BF
从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点(靠近B)时,有EF⊥AD
(III)过点O作OM⊥AA1,垂足为M,连接BM.∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO.由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA1-B的平面角.
在Rt△AMB中,∠MAB=60°,∴MB=
3
2AB
又∵BO=
2
2AB,∴sin∠OMB=
6
3∴∠OMB=arcsin
6
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二面角C-AA1-B的大小为arcsin
6
3
边长已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面的为a的正方形,侧棱AA1为b,
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别为四边形ABCD、A1B1C1D1的中心,
、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形,O为菱形ABCD的中心,∠BAD=
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则x、y的值分别为(
在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分
在正方体ABCD-A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心.
如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,O是底面A1B1C1D1的中心,那么
已知边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1,O为底面A1B1C1D1的中心,E为棱A1B1上的一点,且AE+EO的长
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边上为3的正方形,棱AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=600,
已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,o1是底面A1B1C1D1的中心,M是BB1上的点,
3 在正方形ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证:A1O⊥平面BDF.
在正方形ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证:A1O⊥平面BDF