已知函数f(x)=ax3-4x+4(a∈R)在x=2取得极值.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 09:48:31
已知函数f(x)=ax3-4x+4(a∈R)在x=2取得极值.
(Ⅰ)确定a的值并求函数的单调区间;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,求实数b的取值范围.
(Ⅰ)确定a的值并求函数的单调区间;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,求实数b的取值范围.
(Ⅰ)因为f(x)=ax3-4x+4(a∈R),所以f′(x)=3ax2-4
因为函数f(x)在x=2时有极值,所以f′(2)=0,即3×4a-4=0
得 a=
1
3,经检验符合题意,所以f(x)=
1
3x3−4x+4所以f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2)
令,f′(x)=0得,x=2,或x=-2,当x变化时f′(x),f(x)变化如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增↗所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞);f(x)的单调减区间为(-2,2).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=-2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(−2)=
28
3;
当x=2时,f(x)有极小值,并且极小值为f(2)=−
4
3;
要使关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,则b的取值范围为(−∞,−
4
3]∪[
28
3,+∞)
因为函数f(x)在x=2时有极值,所以f′(2)=0,即3×4a-4=0
得 a=
1
3,经检验符合题意,所以f(x)=
1
3x3−4x+4所以f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2)
令,f′(x)=0得,x=2,或x=-2,当x变化时f′(x),f(x)变化如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增↗所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞);f(x)的单调减区间为(-2,2).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=-2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(−2)=
28
3;
当x=2时,f(x)有极小值,并且极小值为f(2)=−
4
3;
要使关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,则b的取值范围为(−∞,−
4
3]∪[
28
3,+∞)
已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),-2是f(x)的一个零点,又f(x)在x=0处有极值,
已知函数f(x)=13ax3−12(a+1)x2+bx(a,b∈R,a≠1,a>0)在x=1时取得极值.
已知函数f(x)=ln(x+a)-x^2-x在x=0处取得极值
已知函数f(x)=ln(x+a)-x∧2-x在x=0处取得极值,
函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-43
已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x
已知函数f(x)=12x4+bx3+cx2+dx+e(x∈R)在x=0和x=1处取得极值.
已知函数f(x)=x+ax3次方+bx+1.x=1时,取得极值,且极大值比极小值大4 求a 与b的值.
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a#0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,取得极值1,求f(x)的解析式
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.