用204,238,289分别除以一个整数,所得到的余数相同,求余数是多少?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 12:40:36
用204,238,289分别除以一个整数,所得到的余数相同,求余数是多少?
这三个数都是17的倍数,∴除以17,余数为0
下面证明余数只能为0:
证明:
本题可以化简为这个问题:
12*17+x=y*a1
14*17+x=y*a2
17*17+x=y*a3
x、y、a1、a2、a3都是整数,求x
先观察a1、a2、a3之间的关系:2*17=y*(a2-a1)……①,3*17=y*(a3-a2)……②
两关系式相除,得:2a3=5a2-3a1
由①、②知道,要么y是17的倍数,要么a1、a2、a3都是17的倍数
而显然a1<a2<a3,要a1、a2、a3都是17的倍数,最小需要a1=17*1,a2=17*3,a3=17*6
这样除出来的商相差如此大不符实际
∴必定有y是17的倍数(且y一定是奇数)
∴猜测:
1°a1=1,a2=3,a3=6 2°y=17*3=51
由①、②知道,此时y=17 a1=1,a2=3,a3=6
即12*17+x=17*1 即12*17+x=51*1
14*17+x=17*3 14*17+x=51*3
17*17+x=17*6 17*17+x=51*6
∴x=187>y=17(余数比除数大,舍) x无解,可见y过大
∴得到结论,y必须=17
∴12*17+x=17*a1
14*17+x=17*a2
17*17+x=17*a3
又∵x<y,∴只有x=1,2,3……,16
依次尝试可知:x均不等于1,2,3……,16
∴余数只能为0
下面证明余数只能为0:
证明:
本题可以化简为这个问题:
12*17+x=y*a1
14*17+x=y*a2
17*17+x=y*a3
x、y、a1、a2、a3都是整数,求x
先观察a1、a2、a3之间的关系:2*17=y*(a2-a1)……①,3*17=y*(a3-a2)……②
两关系式相除,得:2a3=5a2-3a1
由①、②知道,要么y是17的倍数,要么a1、a2、a3都是17的倍数
而显然a1<a2<a3,要a1、a2、a3都是17的倍数,最小需要a1=17*1,a2=17*3,a3=17*6
这样除出来的商相差如此大不符实际
∴必定有y是17的倍数(且y一定是奇数)
∴猜测:
1°a1=1,a2=3,a3=6 2°y=17*3=51
由①、②知道,此时y=17 a1=1,a2=3,a3=6
即12*17+x=17*1 即12*17+x=51*1
14*17+x=17*3 14*17+x=51*3
17*17+x=17*6 17*17+x=51*6
∴x=187>y=17(余数比除数大,舍) x无解,可见y过大
∴得到结论,y必须=17
∴12*17+x=17*a1
14*17+x=17*a2
17*17+x=17*a3
又∵x<y,∴只有x=1,2,3……,16
依次尝试可知:x均不等于1,2,3……,16
∴余数只能为0
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