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A=(根号7+2)^2n+1 (←2n+1次方) B为A的小数部分 则AB的值应为?

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/18 23:24:04
A=(根号7+2)^2n+1 (←2n+1次方) B为A的小数部分 则AB的值应为?
答案是32n+1
首先,我们通过观察
An Bn AnBn
√7+2 √7-2 3
19√7+50 19√7-50 27
409√7+1082 409√7-1082 243
8827√7+23354 8827√7-23354 2187
.
.
.
不难发现,AB=3^﹙2n+1﹚,其中n=0,1,2,.;
其次,
﹙√7±2﹚^﹙2n+1﹚
=Nα﹙√7﹚^﹙2n+1﹚±Nβ﹙√7﹚^﹙2n﹚×2¹+Nγ﹙√7﹚^﹙2n-1﹚×2²±...±Nω2^﹙2n+1﹚ .其中Nα,Nβ,Nγ...Nω∈Z为多项式的系数,
可以看出,所有奇数项均含有√7,所有偶数项均为整数,且A与B符号相反﹙±﹚
我们假设所有奇数项的和为√7a,所有偶数项的和为b
也就是A=﹙√7+2﹚^﹙2n+1﹚=√7a+b,B=﹙√7-2﹚^﹙2n+1﹚=√7a-b
那么A+B=2√7a, A-B=2b, A×B=7a²-b²
由于√7-2﹤1,所以B=﹙√7-2﹚^﹙2n+1﹚﹤1而且当n﹥1时B﹤1/2
即√7a-b﹤1/2,2√7a-2b﹤1
充分说明A=﹙√7+2﹚^﹙2n+1﹚的小数部分就是B=﹙√7-2﹚^﹙2n+1﹚;
事实上AB=﹙√7+2﹚^﹙2n+1﹚×﹙√7-2﹚^﹙2n+1﹚
=[﹙√7+2﹚×﹙√7-2﹚]^﹙2n+1﹚
=3^﹙2n+1﹚.