(2013•温州一模)如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 03:46:36
(2013•温州一模)如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC,
(Ⅰ)求证:PA∥平面QBC;
(Ⅱ)若PQ⊥平面QBC,求CQ与平面PBC所成角的正弦值.
(Ⅰ)求证:PA∥平面QBC;
(Ⅱ)若PQ⊥平面QBC,求CQ与平面PBC所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:过点Q作QD⊥BC于点D,
∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD⊥平面ABC.
又∵PA⊥平面ABC,
∴QD∥PA,
又∵QD⊂平面QBC,PA⊄平面QBC,
∴PA∥平面QBC.
(Ⅱ)∵PQ⊥平面QBC,
∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ,
∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ.
∴点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC.
∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD.
∴四边形PADQ是矩形.
设PA=AB=AC=2a,
则PQ=AD=
2a,PD=
6a.
又∵BC⊥PA,BC⊥PQ,∴BC⊥平面PADQ,
从而平面PBC⊥平面PADQ,过Q作QH⊥PD于点H,则QH⊥平面PBC.
∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角.
在Rt△PQD中,PQ•QD=PD•QH,则QH=
2•
2a
6=
2
3
3a,CQ=BQ=
6a.
∴sin∠QCH=
QH
CQ=
2
3
3×
1
∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD⊥平面ABC.
又∵PA⊥平面ABC,
∴QD∥PA,
又∵QD⊂平面QBC,PA⊄平面QBC,
∴PA∥平面QBC.
(Ⅱ)∵PQ⊥平面QBC,
∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ,
∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ.
∴点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC.
∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD.
∴四边形PADQ是矩形.
设PA=AB=AC=2a,
则PQ=AD=
2a,PD=
6a.
又∵BC⊥PA,BC⊥PQ,∴BC⊥平面PADQ,
从而平面PBC⊥平面PADQ,过Q作QH⊥PD于点H,则QH⊥平面PBC.
∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角.
在Rt△PQD中,PQ•QD=PD•QH,则QH=
2•
2a
6=
2
3
3a,CQ=BQ=
6a.
∴sin∠QCH=
QH
CQ=
2
3
3×
1
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC,求证PA平行于平面QBC
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=1
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2
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已知PA垂直于△ABC所在平面,角ABC=90°,AM⊥PC于点M,PA=AB=BC,求AM与平面PBC所成角的大小.
已知PA垂直于△ABC所在平面,∠ABC=90°,AM⊥PC于M点,PA=AB=BC,求AM与平面PBC所成角的大小,要
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