作业帮高二数学 不等式的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 18:53:08
高二数学 不等式的证明
1.a,b,c为非负实数,且ab+bc+ac=1,求abc(a+b+c)的最大值．
2.a,b,c为非负实数,且a^2+b^2+c^2=1,求a^3+b^3+c^3的最小值．
(谢谢各位帮忙)
1.a,b,c为非负实数,且ab+bc+ac=1,求abc(a+b+c)的最大值．
2.a,b,c为非负实数,且a^2+b^2+c^2=1,求a^3+b^3+c^3的最小值．
(谢谢各位帮忙)
1.
3abc(a+b+c)-(ab+bc+ac)^2
=3a^2bc+3ab^c+3abc^2-(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^c+2abc^2)
=a^2bc+b^2ac+c^ab-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2
=(-(ab-bc)^2-(ab-ac)^2-(bc-ac)^2)/2
=(a^2+b^2+c^2)^2=1
而a+b+c=√3/3,等号成立当且仅当a=b=c
3abc(a+b+c)-(ab+bc+ac)^2
=3a^2bc+3ab^c+3abc^2-(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^c+2abc^2)
=a^2bc+b^2ac+c^ab-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2
=(-(ab-bc)^2-(ab-ac)^2-(bc-ac)^2)/2
=(a^2+b^2+c^2)^2=1
而a+b+c=√3/3,等号成立当且仅当a=b=c