圆弧线绕在同直径的圆柱体上,其方程是什么

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 01:33:19

nizhenghu ,
这个是螺旋线,超过了一般中学的知识,方程是这样的：
x^2+y^2=r^2;
z=k·[2π+arctan(y/x)];
其中r为螺旋半径;
k·2π是每旋转一周在z轴上上升的距离;
则k,r均为常数.
//
先找到极坐标方程形式:
r=r0+k·θ
k和r0为常数.k为曲率;ro为初始的半径.
则θ=(r-r0)/k;
则cosθ=cos[(r-r0)/k];
r·cosθ=r·cos[(r-r0)/k].①
设(x0,y0)为螺旋的初始点,(a,b)为中心圆的圆心,则(x0-a)^2+(y0-b)^2=r0^2.
螺旋线上一点(x,y)到(a,b)距离为r.于是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
而x-a=r·cosθ;y-b=r·sinθ.
∴代入式①得:
x-a=√[(x-a)^2+(y-b)^2]·cos[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k].
则x=a+√[(x-a)^2+(y-b)^2]·cos[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k]
就是以中心在(a,b),半径为r0的圆为初始圆的等距螺旋线的方程.
或者写成:
y=b+√[(x-a)^2+(y-b)^2]·sin[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k].

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