计算∫∫（D）ds/(1+x+y)^2,其中D为平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的四面体的表面

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 14:19:23

四个平面一个一个计算：
z=0：dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=dxdy
∫∫ 1/(1+x+y)² dxdy
=∫[0--->1]dx∫[0--->1-x] 1/(1+x+y)² dy
=∫[0--->1] -1/(1+x+y) |[0--->1-x] dx
=∫[0--->1] [1/(1+x)-1/2] dx
=ln(1+x)-(1/2)x |[0--->1]
=ln2-1/2
x=0：dS=√(1+(∂x/∂y)²+(∂x/∂z)²)dxdy=dydz
∫∫ 1/(1+y)² dydz
=∫[0--->1]dy∫[0--->1-y] 1/(1+y)² dz
=∫[0--->1] z/(1+y)² |[0--->1-y] dy
=∫[0--->1] (1-y)/(1+y)² dy
=∫[0--->1] (2-y-1)/(1+y)² dy
=2∫[0--->1] 1/(1+y)² dy-∫[0--->1] 1/(1+y) dy
=-2/(1+y)-ln(1+y) |[0--->1]
=2-1-ln2
=1-ln2
y=0结果与x=0一样.
x+y+z=1：dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=√3dxdy
∫∫ 1/(1+x+y)² dS
=√3∫∫ 1/(1+x+y)² dxdy
=√3(ln2-1/2)
因此最终结果：(ln2-1/2)+2(1-ln2)+√3(ln2-1/2)=(√3-1)ln2+(3-√3)/2

计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz,其中Ω为三个坐标面及平面2/x+y+Z=1所围成的区域计算三重积分∫∫∫xdxdydz,其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域计算∫∫（x+y+z)dxdy+(y-z)dydz,其中∑为三个坐标平面和平面x=1,y=1,z=1所围成的立方体表面外计算三重积分∫∫∫ xydxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面x+y+z=1所围成的闭区域 ∫∫(x^2+y^2)dS,∑为面z=√(x^2+y^2 )及平面z=1所围成的立体的表面. 计算三重积分,其中V为三个坐标面及平面 x+y+z=1 所围成的闭区域 ∫∫∫＝xdxdydz其中Ω为三个坐标面及平面x＋2y＋z＝1所围成的闭区域计算曲线积分(x+y+z)dxdy+(y-z)dydz,其中为三坐标平面及平面x=1,y=1,z=1所围成的正方体表面的计算∫∫∑(x^2+y^2)dS其中∑为锥面z=√（x^2+y^2）及平面z=1围成的整个边界曲面计算由曲面z=x^2+y^2,三个坐标面及平面x+y=1所围立体的体积,答案是1/6, 计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2+z）dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域. 计算曲面积分I=∫∫D(x+|y|)dS,其中曲面D:|x|+|y|+|z|=1