例题总结
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/15 03:59:23
椭圆 双曲线 抛物线 典型例题及详细解答
解题思路: 很高兴为你解答,如果对老师的解答不满意,请在讨论区给老师说明,老师一定会尽全力帮你解答!祝你健康、快乐、进步!
解题过程:
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F
,F
的距离的和等于常数
,且此常数
一定要大于
,当常数等于
时,轨迹是线段F
F
,当常数小于
时,无轨迹;双曲线中,与两定点F
,F
的距离的差的绝对值等于常数
,且此常数
一定要小于|F
F
|,定义中的“绝对值”与
<|F
F
|不可忽视。若
=|F
F
|,则轨迹是以F
,F
为端点的两条射线,若
﹥|F
F
|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率
。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习: 1.已知定点
,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(答:C); A.
B.
C.
D.
2.方程
表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 3.已知点
及抛物线
上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 二.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在
轴上时
(
)![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
(参数方程,其中
为参数),焦点在
轴上时
=1(
)。方程
表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。 (2)双曲线:焦点在
轴上:
=1,焦点在
轴上:
=1(
)。方程
表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。 (3)抛物线:开口向右时
,开口向左时
,开口向上时
,开口向下时
。 练习: 1.已知方程
表示椭圆,则
的取值范围为____(答:
); 2.若
,且
,则
的最大值是____,
的最小值是___(答:
) 3.双曲线的离心率等于
,且与椭圆
有公共焦点,则该双曲线的方程_______ 4.设中心在坐标原点
,焦点
、
在坐标轴上,离心率
的双曲线C过点
,则C的方程为_______(答:
) 5.已知方程
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__ 三.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由![](http://img.wesiedu.com/upload/7/da/7da3000a6798eb681c23fab68ab3bea9.png)
,![](http://img.wesiedu.com/upload/f/0b/f0be5e7e9275261202ac32f6ddb00b67.png)
分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由![](http://img.wesiedu.com/upload/7/da/7da3000a6798eb681c23fab68ab3bea9.png)
,![](http://img.wesiedu.com/upload/f/0b/f0be5e7e9275261202ac32f6ddb00b67.png)
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F
,F
的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数
,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,
最大,
,在双曲线中,
最大,
。 四.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以
(
)为例):①范围:
;②焦点:两个焦点
;③对称性:两条对称轴
,一个对称中心(0,0),四个顶点
,其中长轴长为2
,短轴长为2
;④准线:两条准线
; ⑤离心率:
,椭圆![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
,
越小,椭圆越圆;
越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以
(
)为例):①范围:
或
;②焦点:两个焦点
;③对称性:两条对称轴
,一个对称中心(0,0),两个顶点
,其中实轴长为2
,虚轴长为2
,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为
;④准线:两条准线
; ⑤离心率:
,双曲线![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
,等轴双曲线![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
,
越小,开口越小,
越大,开口越大;⑥两条渐近线:
。 (3)抛物线(以
为例):①范围:
;②焦点:一个焦点
,其中
的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴
,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线
; ⑤离心率:
,抛物线![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
。 练习: 1.若椭圆
的离心率
,则
的值是__(答:3或
); 2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__ 3.双曲线的渐近线方程是
,则该双曲线的离心率等于______(答:
或
); 4.双曲线
的离心率为
,则
= (答:4或
); 5.设双曲线
(a>0,b>0)中,离心率e∈[
,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答:
); 6.设
,则抛物线
的焦点坐标为________(答:
); 五、点
和椭圆
(
)的关系:(1)点
在椭圆外![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
;(2)点
在椭圆上![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
=1;(3)点
在椭圆内![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1b/81bf89e0f97d8fa560c80b97a6f202a2.png)
六.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:![](http://img.wesiedu.com/upload/7/85/785f7886a2a86e0bdf338d1278176388.png)
直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有
,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故
是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有
,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故
也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如 (2)相切:![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fd/ffdcfc935fa7407fd61067ed48ae8c60.png)
直线与椭圆相切;![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fd/ffdcfc935fa7407fd61067ed48ae8c60.png)
直线与双曲线相切;![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fd/ffdcfc935fa7407fd61067ed48ae8c60.png)
直线与抛物线相切; (3)相离:![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b4/3b4d013844320ed6436e8f0948d3be1d.png)
直线与椭圆相离;![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b4/3b4d013844320ed6436e8f0948d3be1d.png)
直线与双曲线相离;![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b4/3b4d013844320ed6436e8f0948d3be1d.png)
直线与抛物线相离。 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线
=1外一点
的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习: 1.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______ 2.直线y―kx―1=0与椭圆
恒有公共点,则m的取值范围是_______ 3.过双曲线
的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条 4.过点
作直线与抛物线
只有一个公共点,这样的直线有______(答:2); 5.过点(0,2)与双曲线
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 6.过双曲线
的右焦点作直线
交双曲线于A、B两点,若
4,则满足条件的直线
有____ 7.对于抛物线C:
,我们称满足
的点
在抛物线的内部,若点
在抛物线的内部,则直线
:
与抛物线C的位置关系是_______(答:相离); 8.过抛物线
的焦点
作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是
、
,则
_______(答:1); 9.设双曲线
的右焦点为
,右准线为
,设某直线
交其左支、右支和右准线分别于
,则
和
的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于); 10.求椭圆
上的点到直线
的最短距离(答:
); 11.直线
与双曲线
交于
、
两点。①当
为何值时,
、
分别在双曲线的两支上?②当
为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①
;②
); 七、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径
,其中
表示P到与F所对应的准线的距离。 练习: 1.已知椭圆
上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:
);2.已知抛物线方程为
,若抛物线上一点到
轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____; 3.若该抛物线上的点
到焦点的距离是4,则点
的坐标为_____(答:
); 4.点P在椭圆
上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______ 5.抛物线
上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到
轴的距离为______ 6.椭圆
内有一点
,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使
之值最小,则点M的坐标为_______(答:
); 八、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
到两焦点
的距离分别为
,焦点
的面积为
,则在椭圆
中, ①
=
,且当
即
为短轴端点时,
最大为![](http://img.wesiedu.com/upload/d/bd/dbdd764d91640cbfbb9d4d4573a6bb3f.png)
=
;②
,当
即
为短轴端点时,
的最大值为bc;对于双曲线
的焦点三角形有:①
;②
。 练习: 1.短轴长为
,离心率
的椭圆的两焦点为
、
,过
作直线交椭圆于A、B两点,则
的周长为________(答:6); 2.设P是等轴双曲线
右支上一点,F1、F2是左右焦点,若
,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:
); 3.椭圆
的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当·<0时,点P的横坐标的取值范围是 (答:
); 4.双曲线的虚轴长为4,离心率e=
,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且
是
与
等差中项,则
=__________(答:
); 5.已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且
,
.求该双曲线的标准方程(答:
); 九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A
,B
,若P为A
B
的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。 十、弦长公式:若直线
与圆锥曲线相交于两点A、B,且
分别为A、B的横坐标,则
=
,若
分别为A、B的纵坐标,则
=
,若弦AB所在直线方程设为
,则
=
。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 练习: 1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______ 2.过抛物线
焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3); 十一、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
中,以
为中点的弦所在直线的斜率k=-
;在双曲线
中,以
为中点的弦所在直线的斜率k=
;在抛物线
中,以
为中点的弦所在直线的斜率k=
。 练习: 1.如果椭圆
弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答:
); 2.已知直线y=-x+1与椭圆
相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:
); 特别提醒:因为
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验
! 十二.你了解下列结论吗? (1)双曲线
的渐近线方程为
; (2)以
为渐近线(即与双曲线
共渐近线)的双曲线方程为
为参数,
≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为
,焦准距(焦点到相应准线的距离)为
,抛物线的通径为
,焦准距为
; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线
的焦点弦为AB,
,则①
;②
(7)若OA、OB是过抛物线
顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立
之间的关系
;如已知动点P到定点F(1,0)和直线
的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
或
); ②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)
,端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:
); ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点P向圆
作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为 (答:
);(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线
的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:
);(3) 一动圆与两圆⊙M:
和⊙N:
都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法:动点
依赖于另一动点
的变化而变化,并且
又在某已知曲线上,则可先用
的代数式表示
,再将
代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线
上任一点,定点为
,点M分
所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:
); ⑤参数法:当动点
坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将
均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点
,使
,求点
的轨迹。(答:
);(2)若点
在圆
上运动,则点
的轨迹方程是____(答:
);(3)过抛物线
的焦点F作直线
交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:
);
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆
的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足
点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(1)设
为点P的横坐标,证明
;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=
若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)
;(3)当
时不存在;当
时存在,此时∠F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量
或
; (2)给出
与
相交,等于已知
过
的中点; (3)给出
,等于已知
是
的中点; (4)给出
,等于已知
与
的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:①
;②存在实数
;③若存在实数
,等于已知
三点共线. (6) 给出
,等于已知
是
的定比分点,
为定比,即
(7) 给出
,等于已知
,即
是直角,给出
,等于已知
是钝角, 给出
,等于已知
是锐角, (8)给出
,等于已知
是
的平分线/ (9)在平行四边形
中,给出
,等于已知
是菱形; (10) 在平行四边形
中,给出
,等于已知
是矩形; (11)在
中,给出
,等于已知
是
的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12) 在
中,给出
,等于已知
是
的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在
中,给出
,等于已知
是
的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (14)在
中,给出![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ab/6abb32ce1f27c8f3eda95656c3191621.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1f/81f7cba6283e83db511d5b819774f645.png)
等于已知
通过
的内心; (15)在
中,给出
等于已知
是
的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); (16) 在
中,给出
,等于已知
是
中
边的中线; 求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义,灵活解题 灵活运用定义,方法往往直接又明了。 例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线
,P为双曲线上一点。 求
的最小值。 解析:如图所示,
双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知
即点P到准线距离。
二. 引入参数,简捷明快 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线
的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点F到准线
的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数)
,而
再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则
消去t,得轨迹方程
三. 数形结合,直观显示 将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知
,且满足方程
,又
,求m范围。 解析:
的几何意义为,曲线
上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所示
四. 应用平几,一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。 例4. 已知圆
和直线
的交点为P、Q,则
的值为________。 解:
五. 应用平面向量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 例5. 已知椭圆:
,直线
:
,P是
上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足
,当点P在
上移动时,求点Q的轨迹方程。
分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 解:如图,
共线,设
,
,
,则
,
点R在椭圆上,P点在直线
上
,
即
化简整理得点Q的轨迹方程为:
(直线
上方部分) 六. 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆
和
的交点,且圆心在直线
上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为:
则圆心为
,在直线
上
解得
故所求的方程为
七. 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。 例7. 过点A(2,1)的直线与双曲线
相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。 解:设
,
,则
<2>-<1>得
即
设P1P2的中点为
,则
又
,而P1、A、M、P2共线
,即
中点M的轨迹方程是
解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB为直腰作直角梯形
,使
垂直且等于AT,使
垂直且等于BT,
交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线
的方程; (2)计算出点P、Q的坐标; (3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出
点的坐标. (1 ) 显然
,
于是 直线
的方程为
; (2)由方程组
解出
、
; (3)
,
. 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2 已知直线l与椭圆
有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程. 讲解:从直线
所处的位置, 设出直线
的方程, 由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为
代入椭圆方程
得
化简后,得关于
的一元二次方程
于是其判别式
由已知,得△=0.即
① 在直线方程
中,分别令y=0,x=0,求得
令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得
代入①式并整理,得
, 即为所求顶点P的轨迹方程. 方程
形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线
的离心率
,过
的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程; (2)已知直线
交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值. 讲解:∵(1)
原点到直线AB:
的距离
. 故所求双曲线方程为
(2)把
中消去y,整理得
. 设
的中点是
,则
即
故所求k=±
. 为了求出
的值, 需要通过消元, 想法设法建构
的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12. (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程. 讲解:(1)设
, 对
由余弦定理, 得 ![](http://img.wesiedu.com/upload/2/a8/2a8c178dd39964871d9f00bc703bad1b.png)
, 解出
(2)考虑直线
的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当k存在时,设l的方程为
………………① 椭圆方程为
由
得
. 于是椭圆方程可转化为
………………② 将①代入②,消去
得
, 整理为
的一元二次方程,得
. 则x1、x2是上述方程的两根.且
, 也可这样求解:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/44/044f1c1ae20f17379a501fbdbae0badf.png)
,
AB边上的高
ii) 当k不存在时,把直线
代入椭圆方程得
由①②知S的最大值为
由题意得
=12 所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为:
…………① (这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.) 椭圆的方程为:
由
得:
于是椭圆方程可化为:
……② 把①代入②并整理得:
于是
是上述方程的两根. ![](http://img.wesiedu.com/upload/a/e8/ae8c8061a21c581b245c907373b6539d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/63/963b38064320474a1ad792514e118cee.png)
, AB边上的高
, 从而![](http://img.wesiedu.com/upload/1/1d/11db22d658baeb92ba89a0b0b2bb72ec.png)
当且仅当m=0取等号,即
由题意知
, 于是
. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:
例5 已知直线
与椭圆
相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线
上.(1)求此椭圆的离心率; (2 )若椭圆的右焦点关于直线
的对称点的在圆
上,求此椭圆的方程. 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为
得 ![](http://img.wesiedu.com/upload/d/d9/dd91a614832159d65c25b861312928b8.png)
, 根据韦达定理,得
∴线段AB的中点坐标为(
). 由已知得
,故椭圆的离心率为
. (2)由(1)知
从而椭圆的右焦点坐标为
设
关于直线
的对称点为
解得
由已知得
,故所求的椭圆方程为
. 例6 已知⊙M:
轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,
(1)如果
,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 讲解:(1)由
,可得
由射影定理,得
在Rt△MOQ中,
,故
, 所以直线AB方程是
(2)连接MB,MQ,设
由点M,P,Q在一直线上,得
由射影定理得
即
把(*)及(**)消去a,并注意到
,可得
适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=
。DO⊥AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设
,试确定实数
的取值范围. 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=
∴动点P的轨迹是椭圆∵
∴曲线E的方程是
. (2)设直线L的方程为
, 代入曲线E的方程
,得
设M1(
, 则 ① ② ③
i) L与y轴重合时,
ii) L与y轴不重合时, 由①得
又∵
, ∵
或
∴0<
<1 , ∴
∵
而
∴
∴
∴
,
,
∴
的取值范围是
. 值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例8 直线
过抛物线
的焦点,且与抛物线相交于A
两点. (1)求证:
;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点
. 若l⊥x轴,则l的方程为
.若l不垂直于x轴,可设
,代入抛物线方程整理得
. 综上可知
. (2)设
,则CD的垂直平分线
的方程为
假设
过F,则
整理得
,
. 这时
的方程为y=0,从而
与抛物线
只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点,因此
与l不重合,l不是CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本! 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工? 讲解: 以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的点为M,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, ![](http://img.wesiedu.com/upload/0/1a/01abd9b12674128385edbf2500d6da38.png)
,∴M在双曲线
的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工.
最终答案:略
解题过程:
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F
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![](http://img.wesiedu.com/upload/a/cd/acd2b7618bec3d8b1ba8b87ed9cbf3ef.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/4b/74b43043532b3390216f29addcb877c5.png)
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![](http://img.wesiedu.com/upload/8/a5/8a5e5282dfdc3806547ca8ee81c2fe29.png)
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最终答案:略