是否存在β∈(0,π/2),使得关于x的方程x方-4想xcosβ+2=0和x方-4xsinβ-2=0又一个实数解相对求出
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 22:29:17
是否存在β∈(0,π/2),使得关于x的方程x方-4想xcosβ+2=0和x方-4xsinβ-2=0又一个实数解相对求出β
解
假设存在这样的β,使得两个方程有相同的根m
∴m²-4mcosβ+2=0且
m²-4msinβ-2=0
∴cosβ=(m²+2)/(4m)
sinβ=(m²-2)/(4m).(这里,可以知道,m>0且m²>2)
上面两个式子,两边平方再相加,可得
1=[m⁴+4m²+4+m⁴-4m²+4]/(16m²)
整理可得:m²=4+2√3
m=1+√3
∴代入到上面式子里,可得:
sinβ=1/2,cosβ=(√3)/2
结合0<β<π/2可知:β=π/6
假设存在这样的β,使得两个方程有相同的根m
∴m²-4mcosβ+2=0且
m²-4msinβ-2=0
∴cosβ=(m²+2)/(4m)
sinβ=(m²-2)/(4m).(这里,可以知道,m>0且m²>2)
上面两个式子,两边平方再相加,可得
1=[m⁴+4m²+4+m⁴-4m²+4]/(16m²)
整理可得:m²=4+2√3
m=1+√3
∴代入到上面式子里,可得:
sinβ=1/2,cosβ=(√3)/2
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