作业帮两道微积分不定积分计算题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 16:46:41
两道微积分不定积分计算题,
1、计算前要先会求ln(x+√(a²+x²))的导数
[ln(x+√(a²+x²))]'=[1/(x+√(a²+x²))]*(x+√(a²+x²))'
=[1/(x+√(a²+x²))]*(1+x/√(a²+x²))
=[1/(x+√(a²+x²))]*[(√(a²+x²)+x)/√(a²+x²)]
=1/√(a²+x²)
∫ ln(x+√(a²+x²)) dx 用分部积分
=xln(x+√(a²+x²))-∫ x/√(a²+x²) dx
=xln(x+√(a²+x²))-(1/2)∫ 1/√(a²+x²) d(x²)
=xln(x+√(a²+x²))-√(a²+x²)+C
2、公式：sin3x=3sinx-4sin³x,先计算分母
sin3x+sinx=3sinx-4sin³x+sinx=4sinxcos²x
原式=∫ (1+sinx)/(4sinxcos²x) dx
=(1/4)∫1/(sinxcos²x) dx+(1/4)∫1/cos²dx
=(1/4)∫1/sinx d(tanx) + (1/4)tanx 下面分部积分
=(1/4)tanx/sinx + (1/4)∫ tanxcosx/sin²xdx + (1/4)tanx
=(1/4)tanx/sinx + (1/4)∫ cscxdx + (1/4)tanx
=(1/4)tanx/sinx + (1/4)ln|cscx-cotx| + (1/4)tanx+C
[ln(x+√(a²+x²))]'=[1/(x+√(a²+x²))]*(x+√(a²+x²))'
=[1/(x+√(a²+x²))]*(1+x/√(a²+x²))
=[1/(x+√(a²+x²))]*[(√(a²+x²)+x)/√(a²+x²)]
=1/√(a²+x²)
∫ ln(x+√(a²+x²)) dx 用分部积分
=xln(x+√(a²+x²))-∫ x/√(a²+x²) dx
=xln(x+√(a²+x²))-(1/2)∫ 1/√(a²+x²) d(x²)
=xln(x+√(a²+x²))-√(a²+x²)+C
2、公式：sin3x=3sinx-4sin³x,先计算分母
sin3x+sinx=3sinx-4sin³x+sinx=4sinxcos²x
原式=∫ (1+sinx)/(4sinxcos²x) dx
=(1/4)∫1/(sinxcos²x) dx+(1/4)∫1/cos²dx
=(1/4)∫1/sinx d(tanx) + (1/4)tanx 下面分部积分
=(1/4)tanx/sinx + (1/4)∫ tanxcosx/sin²xdx + (1/4)tanx
=(1/4)tanx/sinx + (1/4)∫ cscxdx + (1/4)tanx
=(1/4)tanx/sinx + (1/4)ln|cscx-cotx| + (1/4)tanx+C