已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 00:57:39
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.
(1)求b和c
(2)求函数y=f(x)的解析式;
(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.
(1)求b和c
(2)求函数y=f(x)的解析式;
(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.
(1)由题意可得:函数f(x)=x3+bx2+cx+d的导数为:f′(x)=3x2+2bx+c,
因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2,
所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0,
解得:b=-
9
2,c=6.
(2)设切点为(x0,y0),
由(1)可得:f′(x)=3x2-9x+6,
因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点,
所以f′(x0)=6,即x0=3或者x0=0,
当x0=3时,y0=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3−
9
2x2+6x+
27
2.
当x0=0时,y0=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3−
9
2x2+6x+1.
(3)由题意可得:f(x)=x3−
9
2x2+6x+1,并且P(0,1),
设切点的坐标为(x1,y1),
所以K切=
y1−1
x1=
x31−
9
2
x21 +6x1
x1=
x21−
9
2x1+6…①.
又因为f′(x)=3x2-9x+6,
所以K切=3x12-9x1+6…②,
由①②可得:x1=
9
4或者x1=0(舍去),
所以切点为(
9
4,
199
64),所以K切=
15
16,
所以切线方程为15x-16y+16=0.
所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0.
因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2,
所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0,
解得:b=-
9
2,c=6.
(2)设切点为(x0,y0),
由(1)可得:f′(x)=3x2-9x+6,
因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点,
所以f′(x0)=6,即x0=3或者x0=0,
当x0=3时,y0=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3−
9
2x2+6x+
27
2.
当x0=0时,y0=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3−
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2x2+6x+1.
(3)由题意可得:f(x)=x3−
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2x2+6x+1,并且P(0,1),
设切点的坐标为(x1,y1),
所以K切=
y1−1
x1=
x31−
9
2
x21 +6x1
x1=
x21−
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2x1+6…①.
又因为f′(x)=3x2-9x+6,
所以K切=3x12-9x1+6…②,
由①②可得:x1=
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4或者x1=0(舍去),
所以切点为(
9
4,
199
64),所以K切=
15
16,
所以切线方程为15x-16y+16=0.
所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0.
设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1的两个极值点为x1,x2,x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],求f(-1)
如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图像,x1,x2是函数f(x) 的极值点,则x1^2+x2^2等于
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点p(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的零点x1,x2,x3满足-2
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=0处取到极值2 (1)求c,d的值 (2)试研究曲线y=f(x)的所有切线
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0,2)且在点M(
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a、b、c为常数),f(x)在x=-1处有极值,曲线y=f(x)在点(3,-24
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1时有极值6.
设函数f(x)=ax3+bx2+cx,若1和-1是函数f(x)的两个零点,x1和x2是f(x)的两个极值点,则x1•x2
已知函数f(x)=13x3−bx2+cx+d在点(0,f(0))处的切线方程为y=2.
已知函数f(x)=x3+3x2+6ax的导函数为f'(x) 若直线y=x与曲线y=f(x)相切于点