作业帮 > 数学 > 作业

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/24 00:57:39
已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c        
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．
（1）由题意可得：函数f（x）=x3+bx2+cx+d的导数为：f′（x）=3x2+2bx+c，
因为函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-
9
2，c=6．
（2）设切点为（x0，y0），
由（1）可得：f′（x）=3x2-9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，
所以f′（x0）=6，即x0=3或者x0=0，
当x0=3时，y0=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3−
9
2x2+6x+
27
2．
当x0=0时，y0=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3−
9
2x2+6x+1．
（3）由题意可得：f（x）=x3−
9
2x2+6x+1，并且P（0，1），
设切点的坐标为（x1，y1），
所以K切＝
y1−1
x1=

x31−
9
2
x21 +6x1
x1=
x21−
9
2x1+6…①．
又因为f′（x）=3x2-9x+6，
所以K切=3x12-9x1+6…②，
由①②可得：x1＝
9
4或者x1＝0(舍去)，
所以切点为（
9
4，
199
64），所以K切＝
15
16，
所以切线方程为15x-16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0．
设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2]． 已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1的两个极值点为x1，x2，x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2]，求f（-1） 如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图像,x1,x2是函数f(x) 的极值点,则x1^2+x2^2等于 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点p（0,2）,且在点M（-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7= 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的零点x1,x2,x3满足-2 已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在x=0处取到极值2 （1）求c,d的值 （2）试研究曲线y=f(x)的所有切线 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0,2)且在点M( 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a、b、c为常数），f（x）在x=-1处有极值，曲线y=f（x）在点（3，-24 已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1时有极值6． 设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和-1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2 已知函数f(x)＝13x3−bx2+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为y=2． 已知函数f(x)=x3＋3x2＋6ax的导函数为f'(x) 若直线y=x与曲线y=f(x)相切于点