在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直底面ABCD,E、F是PC、AB的中点,AP=AD 求证EF垂直平面
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 23:49:51
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直底面ABCD,E、F是PC、AB的中点,AP=AD 求证EF垂直平面PCD
证明:
先证明EF⊥PC,再证明EF⊥PD.
1) 连结PF,FC.
∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAF=∠FBC=90°
∵F是AB中点,PA=AD
∴FA=FB,PA=BC
在△FAP和△FBC内根据勾股定理,知道FP = √(FA^2 + AP^2) = √(FB^2 + BC^2) = FC.
因此F在PC的垂直平分线上.
又因为E是PC中点
所以EF是PC的垂直平分线,EF⊥PC.
2) 取PD的中点G,连结EG,GA.
∵E和G分别是PC和PD的中点
∴EG是△PCD的中位线
∴EG//CD//AB,EG=CD/2=AB/2
∴EG与AF平行且相等,AFEG是平行四边形.
∴EF//AG.
然而△APD是等腰直角三角形,G为斜边中点
∴AG⊥PD.
∴EF⊥PD.
由于EF⊥PC,EF⊥PD,PC和PD同属于平面PCD且交于点P,所以EF⊥平面PCD.
先证明EF⊥PC,再证明EF⊥PD.
1) 连结PF,FC.
∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAF=∠FBC=90°
∵F是AB中点,PA=AD
∴FA=FB,PA=BC
在△FAP和△FBC内根据勾股定理,知道FP = √(FA^2 + AP^2) = √(FB^2 + BC^2) = FC.
因此F在PC的垂直平分线上.
又因为E是PC中点
所以EF是PC的垂直平分线,EF⊥PC.
2) 取PD的中点G,连结EG,GA.
∵E和G分别是PC和PD的中点
∴EG是△PCD的中位线
∴EG//CD//AB,EG=CD/2=AB/2
∴EG与AF平行且相等,AFEG是平行四边形.
∴EF//AG.
然而△APD是等腰直角三角形,G为斜边中点
∴AG⊥PD.
∴EF⊥PD.
由于EF⊥PC,EF⊥PD,PC和PD同属于平面PCD且交于点P,所以EF⊥平面PCD.
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,MN分别是AB,PC的中点,且PA=AD.求证:平面P
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点.求证:AF平行平面PEC
四棱锥p-ABCD中 底面ABCD为矩形,PD垂直底面,AD=PD,E F分别为CD PB 中点 求证 EF垂直平面PA
一.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直与底面,E F分别是AB PC的中点.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形,AD=2,AB=PA=根号2,PA垂直平面ABCD,E是AD的点,F在PC上
如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa垂直底面abcd,e是pc的中点,已知ab=2,ad=2√2,pa
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD垂直底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求证:平面BDE垂直
如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形pa垂直平面abcd,ap=ab,bp=bc=2,e,f分别是pb,pc
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,CD中点是G
四棱锥p-ABCD中 底面ABCD为正方形,PD垂直底面,AB=PD,E F分别为PB ,AD中点 求证 EF垂直平面P
立体几何四棱锥p-abcd中 底面abcd为矩形 PA垂直平面abcd Pa=ab 点E为Pb的中点 求证平面acE直平
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD.M为AB的中点.求证:平面PMC⊥平