（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/11/07 17:58:52

（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
把点A（0，4）代入上式得：a=
4
5，
∴y=
4
5（x-1）（x-5）=
4
5x²-
24
5x+4=
4
5（x-3）²-
16
5，
∴抛物线的对称轴是：x=3；

（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，

∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM=
OA2+OM2=
42+32=5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，
4
5t²-
24
5t+4）（0＜t＜5），

过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-
4
5x+4；
把x=t代入得：y=-
4
5t+4，则G（t，-
4
5t+4），
此时：NG=-
4
5x+4-（
4
5t²-
24
5t+4）=-
4
5t²+4t，
∵AM+CF=CO，
∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=
1
2AM×NG+