关于正定二次型f(x1,x2,.,xn)=(x1+a1x2)^2+(x2+a2x3)^2+...+(xn+anx1)^2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 11:57:58

关于正定二次型
f(x1,x2,.,xn)=(x1+a1x2)^2+(x2+a2x3)^2+...+(xn+anx1)^2,注,上述字母n与数字为下标.其中ai(i=1,2,...n)为实数.试问：当a1,a2,...,an满足何种条件时,二次型f（x1,x2,...,xn)为正定二次型.由已知条件知,对任意的x1,x2,...xn,恒有f（x1,x2,...,xn）≥0,其中等号成立的充分条件是：下面是一个线性方程组.x1+a1x2=0.xn+anx1=0,只要方程组仅有零解,就必有当x≠0时,x1+a1x2,x2+a2x3,...恒不全为0,从而f（x1,x2,...xn)＞0,亦即f是正定二次型.
我的问题是等号成立的充分条件为什么是线性方程组等于0?第二个问题是只要方程组为0这一句话开始到最后.怎么理解这句话?本人基础薄弱.

因为f是一些平方项的和
所以
f=0
每一个平方项都等于0
x1+a1x2=0
.
xn+anx1=0
所以,当方程组只有零解时
任给x=(x1,...,xn)^T≠0,x不是方程组的解
所以 f ≠ 0
即有 f > 0,f正定

(x1+x2+...+xn)^2 设x1,x2,...,xn属于正实数且x1+x2+...+xn=1,求证:x1^2/1+x1+x2^2/1+x2+... 设x1,x2,...,xn>0,(1)若1,x1,x2,...,xn,2成等差数列,则x1+x2+...+xn=____ 设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+ 1,x1,x2,...xn,2 成等差数列,则x1+x2...+xn=? 设x1.x2,.xn是正数,求证（x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2关于柯西不 x1/(1+x1^2)+x2/(1+x1^2+x2^2)+.+xn/(1+x1^2+x2^2+.+xn^2) 设x1,x2,...,xn为任意实数,求证：x1/(1+x1^2)+x2/(1+x1^2+x2^2)+...+xn/(1 已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+ 设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证 x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+…… 设x1=1,x2=2,xn+2=根号下xn+1*xn 求limn→∞ xn 求证(x1+x2+...xn)^2/2(x1^2+x2^2+.xn^2)