作业帮相似矩阵的特征值相同为什么啊?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/29 21:03:25
相似矩阵的特征值相同为什么啊?
为什么相似矩阵的特征值相同?
为什么相似矩阵的特征值相同?
所谓特征值,就是：
如果xa=Aa,那么x就是矩阵A的一个特征值,a就是对应的特征向量.
所谓两个矩阵相似,就是：
如果A=P^(-1)BP,其中P为可逆阵,那么矩阵A和矩阵B就相似.
下面解释为什么相似矩阵有相同的特征值.
如果x是矩阵A的特征值,那么有：
xa=Aa
而A和B相似,所以有
A=P^(-1）BP
代入得到：
xa=P^(-1)BPa
等式两边同时左乘P：
Pxa=BPa
由于x是一个数,所以可以提出：
x(Pa)=B(Pa)
至此证明了x也是矩阵B的特征值,同时可以发现,他对应的特征向量是（Pa）
如果xa=Aa,那么x就是矩阵A的一个特征值,a就是对应的特征向量.
所谓两个矩阵相似,就是：
如果A=P^(-1)BP,其中P为可逆阵,那么矩阵A和矩阵B就相似.
下面解释为什么相似矩阵有相同的特征值.
如果x是矩阵A的特征值,那么有：
xa=Aa
而A和B相似,所以有
A=P^(-1）BP
代入得到：
xa=P^(-1)BPa
等式两边同时左乘P：
Pxa=BPa
由于x是一个数,所以可以提出：
x(Pa)=B(Pa)
至此证明了x也是矩阵B的特征值,同时可以发现,他对应的特征向量是（Pa）
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