无限纯循环小数化为分数,分母的每一位数都是9,为什么?（证明过程或推导过程）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/01 01:16:40

无限纯循环小数化为分数,分母的每一位数都是9,为什么?（证明过程或推导过程）
例如：0.142857142857…=142857/999999,0.11…=1/9
无限纯循环小数化为分数以后,分母的数位总是和循环节的数位一样,而且每一位数字一定是9（约分以后不满足以上说法,但是暂时忽略不计）.
这是为什么呢?
就把推理过程写下来吧.

这涉及到数列的知识,不知道你学过没有
设循环位数为k,到第一个循环为止的值a
例如：对0.142857142857…,有k=6,a=0.142857
则无限循环小数可以写成以下数列所有项的和
首项a1=a,公比q=10^(-k)的等比数列
例如：0.142857142857…=0.142857+0.000000142857+...
有公式可以计算出公比绝对值小于1的等比数列所有项的和S
S=a1/(1-q)=a/[1-10^(-k)]=a*10^k/(10^k-1)
例如：0.142857142857…=0.142857*1000000/(1000000-1)=142857/999999
不知道看明白没有
想到一个更简单的说明方法
设X=0.142857142857… (1)式
两边同时乘以1000000,得
1000000X=142857.142857142857… (2)式
用(2)式-(1)式,得
1000000X-X=(142857.142857142857…)-(0.142857142857…)
即
999999X=142857
所以
X=142857/999999

把无限循环小数6.24化为分数（写出解题过程）为什么所有的分数都是无限循环小数或有限小数把无限循环小数化为分数的公式所有的分数都是有限小数或无限循环小数吗? 无限循环小数1.2222化成分数的过程、结果是无理数的证明怎么来的请问无理数的证明是怎么来的书上是说无限不循环小数无法用分数表示但这个结论怎么来的没有推导过程我一个分数一定可以化为有限小数或无限循环小数. 一个分数可化为有限小数或无限循环小数所有的无限循环小数都可以化为分数吗把无限循环小数化为分数形式的一般规律如何把无限循环小数化为分数形式? 并总结把无限循环小数化为分数的形式的一般规律不能化为整数的分数一定是无限循环小数吗?无限循环小数是有理数吗?