∀x(P(x) ↔ Q(x)) 和 ∀x P(x) ↔ ∀x
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/01 00:23:51
∀x(P(x) ↔ Q(x)) 和 ∀x P(x) ↔ ∀xQ(x)证明是否逻辑等价
不等价.
从字面上来理
(1)前者表示:对任意一个x,P和Q等价;即:P和Q要么同为真,要么同为假.
(2)后者表示:“P对任意x都成立”,和“Q对任意x都成立”等价.即:当P和Q之中,有一个对所有x都成立时,另一个也对所有x都成立;换言之,当其中一个不能保证对所有x都成立时,另一个也将不能保证对所有x都成立.
由此可见,命题(1)对x的每一个实例,都要求P和Q等价;而命题(2)只是对P和Q的整体——即当它们对所有x“都”成立时——进行讨论,只要求整体等价:其中一个“都成立”时,则另一个“也都成立”;而其中一个“整体不都成立”时,则另一个“只需要整体不都成立即可”,并不要求对x的每个实例都对应成立或不成立.
举个例子:一台复杂的机器,由许多零部件组成,我们用x代表每一个零部件.设谓词:
P(x):部件x是合格品,即该部件本身是没有问题的;
Q(x):部件x装入机器后,x可以正常运行;
相信你也知道,一台机器,部分模块可以正常运行,不代表它整体可以正常运行.同样,一个部件本身没问题,也不代表它可以在机器上正常运行——它还受其他部件的影响.所以,对于本例,命题(1)是假命题.
但我们也应该相信:当所有部件都是合格品时,将它们(正确)组装后,它们也一定都可以正常运行,即整部机器可以正常工作;反之,当组装后的各个部件都可以正常运行,也足以说明每个部件都是合格品.所以,对于本例,命题(2)是真命题.
虽然这个例子还不够一般化,但足以说明这两个命题是不等价的.其实,命题(1)是命题(2)的充分不必要条件;即:(1)可以推出(2),但(2)不能推出(1).
要说严格的证明方法,因为量词的关系,用公式很难直接推出最终结果.不过它可以起辅助作用,利用公式转换出的某种形式,可以帮助我们理解这两个命题.但用反例法就很简单了:
设x∈{1,2},那么:
当P(1)=0、P(2)=1、Q(1)=1、Q(2)=0时:
命题(1)为假,而命题(2)为真.
从字面上来理
(1)前者表示:对任意一个x,P和Q等价;即:P和Q要么同为真,要么同为假.
(2)后者表示:“P对任意x都成立”,和“Q对任意x都成立”等价.即:当P和Q之中,有一个对所有x都成立时,另一个也对所有x都成立;换言之,当其中一个不能保证对所有x都成立时,另一个也将不能保证对所有x都成立.
由此可见,命题(1)对x的每一个实例,都要求P和Q等价;而命题(2)只是对P和Q的整体——即当它们对所有x“都”成立时——进行讨论,只要求整体等价:其中一个“都成立”时,则另一个“也都成立”;而其中一个“整体不都成立”时,则另一个“只需要整体不都成立即可”,并不要求对x的每个实例都对应成立或不成立.
举个例子:一台复杂的机器,由许多零部件组成,我们用x代表每一个零部件.设谓词:
P(x):部件x是合格品,即该部件本身是没有问题的;
Q(x):部件x装入机器后,x可以正常运行;
相信你也知道,一台机器,部分模块可以正常运行,不代表它整体可以正常运行.同样,一个部件本身没问题,也不代表它可以在机器上正常运行——它还受其他部件的影响.所以,对于本例,命题(1)是假命题.
但我们也应该相信:当所有部件都是合格品时,将它们(正确)组装后,它们也一定都可以正常运行,即整部机器可以正常工作;反之,当组装后的各个部件都可以正常运行,也足以说明每个部件都是合格品.所以,对于本例,命题(2)是真命题.
虽然这个例子还不够一般化,但足以说明这两个命题是不等价的.其实,命题(1)是命题(2)的充分不必要条件;即:(1)可以推出(2),但(2)不能推出(1).
要说严格的证明方法,因为量词的关系,用公式很难直接推出最终结果.不过它可以起辅助作用,利用公式转换出的某种形式,可以帮助我们理解这两个命题.但用反例法就很简单了:
设x∈{1,2},那么:
当P(1)=0、P(2)=1、Q(1)=1、Q(2)=0时:
命题(1)为假,而命题(2)为真.
谁能用推理规则证明.若∀x(p(x)→(Q(x)∧S(x)))和∀x(p(x)∧R(x))为真,
如果(X-4)*P=X*X-X+Q,求Q的值和P与X的关系式.
利用一阶逻辑推理的方法证明:∃x(P(x)→Q(x)) => ∀xP(x) →∃xQ
P(x) 和 Q(x)是两个多项式函数,
如果(x-4)p=x²-x+q,求q的值和p和x的关系式
(2x-p)(3x+2)=6x²+5x+q求P,q
p:x(x^2-x-6)大于等于0 q:1/x-2>1 若p且q和非q都是假命题 求x的范围
因式分解:x的平方-(p的平方+q的平方)x+pq(p+q)(p-q)
因式分解:x^2-(p^2+q^2)x+pq(p+q)(p-q)
x^2-(p^2+q^2)x+pq(p+q)(p-q)用因式分解做出来
设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x|3<3x<9}那
多项式证明题,已知多项式P(x),Q(x),R(x)S(x)满足:P(x^5)+xQ(x^5)+(x^2)R(x^5)=