求证锐角三角形垂心,重心,外心三点共线
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/23 09:52:12
求证锐角三角形垂心,重心,外心三点共线
垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线.
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
欧拉线的证明:
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= DC
∴ OM= AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
欧拉线的证明:
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= DC
∴ OM= AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线
设三角形ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,求证:O,G,H三点共线
如图,在三角形ABC中,H为垂心,G为重心,O为外心.求证:H,G,O三点共线,且HG=2GO
平面几何,三角形的重心,求证三点共线,高难
关于欧拉定理的问题设O、G、H分别是三角形ABC的外心,重心和垂心,则1.O、G、H三点共线,2.OG=1/3 OH.如
用向量法证明:三角形的外心、重心、垂心共线.
三角形ABC在平面直角坐标系中,知道ABC三点坐标,请问重心和垂心和外心公式?
欧拉线欧拉线定理8(Euler line)三角形的外心、重心、垂心三点共线,且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半.
三角形的重心垂心内心外心
重心、内心、外心、垂心该怎样区分?
三角形中,已知三顶点坐标,怎么求重心、垂心和外心坐标?
平面上有四个点,其中任意3点不共线.求证:以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
如图,设OH分别是锐角三角形ABC的外心和垂心,点D在AB上AD=AH 点E在AC上,AE=AO求证DE=AE