平面上任取5个点,其中任三点不共线,每4点不共圆,如果一个圆过其中三点,并且另两点分别在这个圆的内和外,就成这个圆为好圆

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/03 03:27:40

平面上任取5个点,其中任三点不共线,每4点不共圆,如果一个圆过其中三点,并且另两点分别在这个圆的内和外,就成这个圆为好圆.求好圆个数n的所有可能取值.
此为初三数学竞赛题,高难度,求大神解答

n的可能取值只有n = 4.

关键用到如下引理:
1) 若C,D,E在AB同侧,则过A,B的3个圆中恰有1个是好圆.
2) 若C,D,E不在AB同侧, 则过A,B的3个圆中,好圆的个数为1或3.
这个引理的证明不难,只是分情况较繁 (提示是圆内角 > 圆周角 > 圆外角).
这里暂且省略,需要的话请追问.

再引入几个名词简化叙述.
过A,B的3个圆都是好圆,称AB为好边,否则称坏边.
根据引理,过坏边端点的3个圆中恰有1个是好圆.
若C,D,E在AB同侧,称AB为单侧边.
根据引理,单侧边总是坏边.

5个点确定10条边,设其中有k条好边.
因为每个好圆经过3条边的端点,所以3n = 3k+(10-k) = 10+2k.
由整除性可得k = 1,4,7,10.

显然单侧边总是存在的,不妨设AB是单侧边.
则在⊙ACB, ⊙ADB, ⊙AEB中恰有1个好圆,不妨设好圆是⊙AEB.
由⊙ACB不是好圆,AB,AC,BC都是坏边.
同理, 由⊙ADB不是好圆,AD,BD也是坏边.
这样至少有5条坏边,k ≤ 10-5 = 5,故k = 1,4.

这里分两种情况:
情况1.若CD是好边,则⊙ACD, ⊙BCD都是好圆.
由AC是坏边,过A,C的圆中只有1个好圆.
而⊙ACD是好圆, 故⊙ACE不是好圆,从而AE是坏边.
同理,由BC是坏边,可得BE是坏边.
此种情况下至少有7条坏边,k ≤ 10-7 = 3.
故只有k = 1.

情况2.若CD是坏边.
此时k = 4的唯一可能是以E为端点的AE,BE,CE,DE都是好边,以下说明这是不可能的.
平边上不共线的5点的凸包只有3种可能(示意如图):

1) 凸包为凸五边形.
此时E作为一个顶点,必然有过E的单侧边,不都是好边,矛盾.
2) 凸包为凸四边形.
若E是凸包顶点,则有过E的单侧边,不都是好边,矛盾.
若E不是顶点,则E一定落在四边形对角线分成的4个三角形之一的内部.
以示意图中情况为例,可得∠AEB > ∠ACB, ∠AEB > ∠ADB,
从而C,D都在⊙AEB的外部, ⊙AEB不是好圆, 与AE是好边矛盾.
3) 凸包为三角形.
若E是凸包顶点,则有过E的单侧边,不都是好边,矛盾.
若E不是顶点,设顶点为A,B,C.则E落在由D分成的3个三角形之一的内部.
以示意图中情况为例,可得∠AEB > ∠ADB > ∠ACB,
从而C,D都在⊙AEB的外部, ⊙AEB不是好圆, 与AE是好边矛盾.

综上,好边条数k = 1,对应n = (10+2k)/3 = 4.
即好圆个数只能为4.

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