设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点(0,4),离心率为3/5
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 12:44:27
设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点(0,4),离心率为3/5
①求C的方程,
②设P是椭圆C上的动点,点D是P在X轴上投影,M为PD中点,点P在椭圆上运动时,求点M的轨迹Q的方程,
③求过点(3,0)且斜率为4/5的直线被C所截线段的中点坐标
①求C的方程,
②设P是椭圆C上的动点,点D是P在X轴上投影,M为PD中点,点P在椭圆上运动时,求点M的轨迹Q的方程,
③求过点(3,0)且斜率为4/5的直线被C所截线段的中点坐标
第一个问题:
∵(0,4)在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上,∴16/b^2=1,∴b^2=16.
又e=c/a=√(a^2-b^2)/a=3/5,∴25(a^2-b^2)=9a^2,∴25a^2-9a^2=25b^2,
∴16a^2=25×16,∴a^2=25.
∴满足条件的椭圆C的方程是:x^2/25+y^2/16=1.
第二个问题:
令点M的坐标为(x,y).
∵D是P在x轴上的投影,而M是PD的中点,∴D是M在x轴上的投影,∴D的坐标为(x,0).
设P的坐标为(m,n),则:(m+x)/2=x、(n+0)/2=y,∴m=x、n=2y.
∵P(x,2y)在椭圆x^2/25+y^2/16=1上,∴x^2/25+4y^2/16=1,∴x^2/25+y^2/4=1.
∴点M的轨迹Q的方程是:x^2/25+y^2/4=1.
第三个问题:
过点(3,0)且斜率为4/5的直线方程为:y=(4/5)(x-3)=4x/5-12/5.
联立:y=4x/5-12/5、x^2/25+y^2/16=1,消去y,得:x^2/25+(4x/5-12/5)^2/4=1,
∴x^2/25+4x^2/25-24x/25+36/25=1,∴5x^2-24x+11=0.
令直线y=4x/5-12/5被椭圆C所截线段为AB,则可分别令A、B的坐标为:
A(p,4p/5-12/5)、B(q,4q/5-12/5).
显然,p、q是方程5x^2-24x+11=0的根,∴由韦达定理,有:p+q=24/5,
∴(p+q)/2=12/5,
∴[(4p/5-12/5)+(4q/5-12/5)]/2=(4/5)(p+q)-12/5=96/25-60/25=36/25.
∴满足条件的线段中点的坐标是(12/5,36/25).
∵(0,4)在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上,∴16/b^2=1,∴b^2=16.
又e=c/a=√(a^2-b^2)/a=3/5,∴25(a^2-b^2)=9a^2,∴25a^2-9a^2=25b^2,
∴16a^2=25×16,∴a^2=25.
∴满足条件的椭圆C的方程是:x^2/25+y^2/16=1.
第二个问题:
令点M的坐标为(x,y).
∵D是P在x轴上的投影,而M是PD的中点,∴D是M在x轴上的投影,∴D的坐标为(x,0).
设P的坐标为(m,n),则:(m+x)/2=x、(n+0)/2=y,∴m=x、n=2y.
∵P(x,2y)在椭圆x^2/25+y^2/16=1上,∴x^2/25+4y^2/16=1,∴x^2/25+y^2/4=1.
∴点M的轨迹Q的方程是:x^2/25+y^2/4=1.
第三个问题:
过点(3,0)且斜率为4/5的直线方程为:y=(4/5)(x-3)=4x/5-12/5.
联立:y=4x/5-12/5、x^2/25+y^2/16=1,消去y,得:x^2/25+(4x/5-12/5)^2/4=1,
∴x^2/25+4x^2/25-24x/25+36/25=1,∴5x^2-24x+11=0.
令直线y=4x/5-12/5被椭圆C所截线段为AB,则可分别令A、B的坐标为:
A(p,4p/5-12/5)、B(q,4q/5-12/5).
显然,p、q是方程5x^2-24x+11=0的根,∴由韦达定理,有:p+q=24/5,
∴(p+q)/2=12/5,
∴[(4p/5-12/5)+(4q/5-12/5)]/2=(4/5)(p+q)-12/5=96/25-60/25=36/25.
∴满足条件的线段中点的坐标是(12/5,36/25).
设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号2/2,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆c的
设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a大于b大于c)过点(0,4),离心率为3/5 1:求C的方程 2 求过点(3,0
已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,且过P(1,3/2),F为其右焦点 设过A点
已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B.
已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>1,b>0) 过点0,1 且离心率为二分之根号3,求椭圆方
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点M(1,3/2),其离心率为1/2,设直线L;y=kx
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,过右焦点
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过点M(2,1),o为坐标原点,平行于
【高二数学】已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为F(1,0),离心率为1/2.设过点F的
设椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>c)的离心率为1/2
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(0,2),离心率e=根号6/3 求椭圆方程
若直线4x-3y+12=0过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点,且离心率为2/5,求此椭圆方