正四面体ABCD内接于半径为R的球O（即四个顶点在球面上）,其内切球半径为r,（1）.证明R＝3r （2）用R表

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 00:18:41

正四面体ABCD内接于半径为R的球O（即四个顶点在球面上）,其内切球半径为r,（1）.证明R＝3r （2）用R表
正四面体ABCD内接于半径为R的球O（即四个顶点在球面上）,其内切球半径为r,（1）.证明R＝3r

如图,正四面体P-ABC内接于球O,O的半径为R
过点P作面ABC的垂线,垂足为O'
则,O'为等边△ABC所在圆面的圆心,且球心O在PO'上
设正四面体P-ABC的棱长为a,OO'=x
那么,BO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a
PO=BO=R,PB=a
那么,由勾股定理有：
BO^2=BO'^2+OO'^2 ===> R^2=(a^2/3)+x^2
===> R^2-x^2=a^2/3
===> (R+x)*(R-x)=a^2/3……………………………………（1）
PB^2=PO'^2+BO'^2 ===> a^2=(R+x)^2+(a^2/3)
===> (R+x)^2=(2/3)a^2
===> R+x=(√6/3)a
代入(1)有：(√6/3)a*(R-x)=a^2/3
===> R-x=(√6/6)a
所以：2R=(√6/3)a+(√6/6)a=(√6/2)a
所以,a=(2√6/3)R.
再问：图呢？
再答：

1、棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上,求次球的半径R. （1）两半径为r的金属球放在绝缘支架上,两球面最近相... 如图所示，半径为R，内壁光滑的空心圆筒放在地上，将两个重力都是G，半径都是r的球（R＜2r＜2R）放在圆筒中，下列说法正圆台体积计算?V=1/3*π*H*(R^2+r^2+R*r) (R为大圆半径,r为小圆半径,H为圆台高度）已知三棱锥P-ABC的各个顶点都在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO⊥底面ABC,AC=√3R,则V三棱锥:V球两个半径均为r的金属球放在绝缘支架上,两球面最近距离为r 半径为R的大球O被挖去半径为R/2的小球O' 已知：如图,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的圆O （1）求A1A3的长（2）求四边形A1A2A 在半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆在半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆,计算当R=7cm,r=1.5cm时剩余部分的面积（保留3位小数）在半径为R的圆内挖去一个半径r的半圆（R＞r＞O）剩下的面积是半径为R的球的内接正四面体的高为H,则H/R=?