如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1， 9 2 ）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 15:09:14

（1）因为抛物线的顶点为（1，
9
2 ），
所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）² +
9
2 ，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）² +
9
2 =4．
解得：a=-
1
2 ．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
1
2 （x-1）² +
9
2 ．

（2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E，
当CD=CP₁ 时，∵点C（0，4），顶点为（1，
9
2 ），
∴CD=
4 2 + 1 2 =
17 ，DE=4，
∴CP₁ =
17 ，EP₁ =4，
∴P₁ 的坐标为：（1，8），
当CD=DP₂ 时，P₂ 的坐标为：（1，
17 ），
当CP₃ =DP₃ 时，
设CP₃ =DP₃ =y，
∴CE² +EP
23 =CP
23 ，
∴1+（4-y）² =y² ，
解得：y=
17
8 ，
∴P₃ 的坐标为：（1，
17
8 ），
当CD=DP₄ 时，
P₄ 的坐标为：（1，-
17 ），
综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
（1，
17 ），（1，-
17 ），（1，8），（1，
17
8 ）；

（3）令-
1
2 （x-1）² +
9
2 =0，
解得：x₁ =-2，x₂ =4，．

∴抛物线y=-
1
2 （x-1）² +
9
2 与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
过点F作FM⊥OB于点M．
∵EF ∥ AC，
∴△BEF ∽ △BAC．
MF
CO =
EB
AB ．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=
BE
AB ×CO=
2
3 EB．
设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=
2
3 （4-x），
∴S=S_△BCE -S_△BEF =
1
2 EB•CO-
1
2 EB•MF，
=
1
2 EB（OC-MF）=
1
2 （4-x）[4-
2
3 （4-x）]
=-
1
3 x² +
2
3 x+
8
3 =-
1
3 （x-1）² +3．
Qa=-
1
3 ＜0，
∴S有最大值．
当x=1时，S_最大值 =3．
此时点E的坐标为（1，0）．