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已知an=3^n+n(n∈R),设数列{bn}满足bn=n^2/(an-n),证明:bn

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 02:39:11
已知an=3^n+n(n∈R),设数列{bn}满足bn=n^2/(an-n),证明:bn
证:
bn=n²/(an-n)=n²/(3ⁿ+n-n)=n²/3ⁿ
n>0 则n²>0,3ⁿ>0,bn恒>0
lgb(n+1)-lgbn
=lg[(n+1)²/3^(n+1)] -lg(n²/3ⁿ)
=[2lg(n+1)-(n+1)lg3]-(2lgn -nlg3)
=2[lg(n+1)-lgn] -lg3
=lg{[(n+1)/n]²} -lg3
令[(n+1)/n]²≥3
整理,得
n²-n≤1/2
(n-1/2)²≤3/4
(1-√3)/2≤n≤(√3+1)/2
又n为正整数,n=1,即仅当n=1时,b(n+1)>bn.也即数列第2项最大.
b2=2²/3²=4/9
bn≤b2
bn≤4/9,不等式成立.