不等式的证明问题已知：a > 0,b > 0 且 a+b=1.求证：a^a * b^b>=1/2(该命题是否能扩展到n项

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/07 18:07:17

不等式的证明问题
已知：a > 0,b > 0 且 a+b=1.
求证：a^a * b^b>=1/2
(该命题是否能扩展到n项的情形呢?)

楼上虽然打了不少..但貌似他的题目不是那样的.
要证(a^a)*(b^b)>=1/2
两边取对数即证:alna+blnb>=ln(1/2)
构造函数f(x)=xlnx
f''(x)=1/x>0所以f(x)下凸,由下凸函数的性质(即琴生不等式)得
[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
即(alna+blnb)/2>(1/2)*ln(1/2)于是得证.
推广到n元也是同样的思路,ai>0,i=1,2,3.且a1+a2+...an=1
证：(a1^a1)(a2^a2)...(an^an)>=1/n
取对数即证a1lna+a2lna2+.anlnan>=ln(1/n)
构造f(x)=xlnx因为f(x)下凸
于是[f(a1)+.f(an)]/n>=f[(a1+a2+...an)/n]=(1/n)*ln(1/n)
所以f(a1)+f(a2)+.f(an)>=ln(1/n)
所以得证,和2元形式的思路一模一样.

较难不等式证明已知：a > 0,b > 0,a + b = 1 .求证：（a + 1/a )^2 *( b + 1/ 一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c] 均值不等式问题,已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥（√17-1 用柯西不等式证明：已知a、b＞0求证 b/a²+a/b²≥1/a+1/b 数学不等式证明：已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2>=ab+a+b-1. 基本不等式的证明1.已知a b 为常数,x,y大于0 ,且 a／x +b／y =1 ,求证x+y≥（根号a+根号b）的平充要条件的证明问题已知ab不等于0,求证:a+b=1的充要条件是a*a*a+b*b*b+ab-a*a-b*b=0 (注* 已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4 已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4 已知a>0.b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式（a+1/a）（b+1/b）大于等于25/4 不等式证明已知a不等于b,且a,b均为正数,求证：a^3-b^3=a^2-b^2应为：a^3-b^3=a^2-b^2 是已知a>0,b>0且a+b=1,求证下列不等式(1)ab≤1/4;(2)(1+1/a)(1+1/b)≥9