作业帮高中数学问题 6题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/14 08:28:25
高中数学问题 6题
定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,求函数f(x)在[0,2013]上的零点个数.
解析：∵当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x
在同一坐标系内画出y=x^2与y=2^x的函数图像可知,曲线在区间(0,4]有两个交点,在区间(-1,0]区间有一个交点,
∴当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x有3个零点
∵在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,
令f(x)=x^2-2^x=16
易知在区间(-1,4]上,f(x)=x^2-2^x=16,无根
又当x∈(-6,-1]时,f(x)=x^2-2^x无零点
令x=x+5代入又∵f(x+5)+f(x+10)=16
∴f(x)+f(x+5)=f(x+5)+f(x+10),
∴f(x)=f(x+10),
∴f(x)是最小正周期为10的周期函数,
∵x∈[0,2013],
分为三段x∈[0,4],x∈(4,2004],x∈(2004,2013]
∴在x∈[0,4]函数有两个零点,
在x∈(4,2004]有200个完整周期,即有600个零点,
在x∈(2004,2013]共有两个零点,
综上：函数f(x)在[0,2013]上的零点个数为604
再问： 为什么在-6
到-5函数解析式和在-1到4的一样
再答： 由题意f(x)是定义在R上的函数，当x∈(-1，4]时，f(x)=x^2-2^x，即题目没有说f(x)是分段函数，
又可证明f(x)是周期为10的周期函数，所以在一完整周期内（-6，4]或（-1，9]，只能认为f(x)是同表达式f(x)=x^2-2^x
解析：∵当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x
在同一坐标系内画出y=x^2与y=2^x的函数图像可知,曲线在区间(0,4]有两个交点,在区间(-1,0]区间有一个交点,
∴当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x有3个零点
∵在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,
令f(x)=x^2-2^x=16
易知在区间(-1,4]上,f(x)=x^2-2^x=16,无根
又当x∈(-6,-1]时,f(x)=x^2-2^x无零点
令x=x+5代入又∵f(x+5)+f(x+10)=16
∴f(x)+f(x+5)=f(x+5)+f(x+10),
∴f(x)=f(x+10),
∴f(x)是最小正周期为10的周期函数,
∵x∈[0,2013],
分为三段x∈[0,4],x∈(4,2004],x∈(2004,2013]
∴在x∈[0,4]函数有两个零点,
在x∈(4,2004]有200个完整周期,即有600个零点,
在x∈(2004,2013]共有两个零点,
综上：函数f(x)在[0,2013]上的零点个数为604
再问： 为什么在-6
到-5函数解析式和在-1到4的一样
再答： 由题意f(x)是定义在R上的函数，当x∈(-1，4]时，f(x)=x^2-2^x，即题目没有说f(x)是分段函数，
又可证明f(x)是周期为10的周期函数，所以在一完整周期内（-6，4]或（-1，9]，只能认为f(x)是同表达式f(x)=x^2-2^x