如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下列几

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 08:49:36

如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．

（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A．
①请证明：△ADE∽△FGE；②求出FG的长度；
（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
（3）请直接写出，当重叠面积y在什么范围时，对应的平移距离x有两个值；当重叠面积y在什么范围时，相对应的平移距离x只有一个值？

（1）①∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE=
DE2−BC2=
52−42=3，DE=CD-CE=5-3=2，
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED；

②∵由①知，△EFG∽△AED，
∴
BF
BE=
AD
DE，
∴BF=FG=
AD•BE
DE=
4×5
2=10；

（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时（如图1），EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，
∵△EFG的直角边FG=10，EG=5，
∴tanα=
EG
FG=
5
10=
1
2，

∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，得出FB=FG-BG=10-x，BP=
FB
2=
10−x
2，PQ=x，EQ=
x
2
∴重叠部分y=PB•BG+
1
2BG•EQ=
10−x
2+
1
2x×
x
2=-
1
4x²+5x，
二是x平移距离大于4时，EF与AB相交于P，与CD相交于R，
∴y=PB•BC+
1
2PQ•RQ=
4(10−x)
2+
1
2×4×2=24-2x；

（3