直角坐标系转化成极坐标系时,上下限是怎么转换的.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 16:24:53

直角坐标系转化成极坐标系时,上下限是怎么转换的.
（1）用直角坐标表示时：∫∫D x/y dxdy （D是区间范围）D：x²+y²=y与x=0 所围成的位于第一象限的区域,转化成极坐标时,上下限怎么转换的.上下限分别为 0≤ρ≤sinθ 0≤θ≤π /2
（2））∫∫D √（4-x²-y²）dxdy D：√2x-x²与y=0所围区域转换成极坐标后上下限0≤ρ≤2cosθ 0≤θ≤π /2

（1）x²+y²=y即x²+y²-y+1/4=1/4,
x²+(y-1/2)²=(1/2)²,表示以(0,1/2)为圆心,以1/2为半径的圆,如图,粉色是D的范围,
积分区域是第一象限,那么由于x轴对应θ=0,y轴对应θ=π/2,所以θ的范围是[0,π/2],
令x=rcosθ,y=rsinθ,带入原方程得
r²cosθ²+r²sinθ²=rsinθ
r²=rsinθ
r=sinθ
即ρ(θ)=sinθ
ρ的下限是0,上限是ρ(θ),这是定义,
∴ρ的积分区间是[0,sinθ],θ的积分区间是[0,π/2].
（2）√2x-x²与y=0所围区域在第1象限,
∵y=√2x-x²即y²+(x-1)²=1,y≥0是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆的上半部分
它与y=0围成的区间是一个半圆,
∴θ的范围同（1）,也是[0,π/2],
那么令x=rcosθ,y=rsinθ,
x²+y²=2x,即r²cosθ²+r²sinθ²=2rcosθ,
即r²=2rcosθ,即r=2cosθ,
ρ的下限是0,上限是ρ(θ),
∴ρ的积分区间是[0,2cosθ],θ的积分区间是[0,π/2].
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