作业帮等腰三角形的要点 怎么学好?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 11:01:50
等腰三角形的要点 怎么学好?
要仔细点哦
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等腰三角形·要点全析1．等腰三角形（isosceles triangle）
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1,△ABC中,AB＝AC,则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰,另一条边BC叫底边,两腰所夹的角叫顶角,如∠BAC,底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．
如图14-3-2中,∠C＝90°,AC＝BC,那么,AC、BC为腰,AB边为底,∠A、∠B为底角,∠C为顶角．
【说明】要理解等腰三角形的定义,需注意以下几点：
（1）等腰三角形的底不一定在下方,而顶角不一定在上方,如图14-3-2中,AB为底,∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．
（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中,AB＝AC＝m,BC＝a,则2m＞a,即m＞时,才能构成三角形,否则不成立．如边长分别为2,2.5的三条线段不能构成三角形,因为2＋2＜5．
例如：（1）下列各组数据为边长时,能否组成三角形?
①a＝2,b＝3,c＝5；②a＝4,b＝3,c＝2；
③a＝1,b＝2,c＝2；④a＝2 005,b＝2 004,c＝2 008．
（2）已知等腰三角形的两边为6 cm,7 cm,求其周长．
（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm,7 cm,求其周长．
（1）①由于2＋3＝5,即a＋b＝c,而不满足a＋b＞c,∴ 不能组成三角形．
②由于2＋3＝5＞4,即b＋c＞a,所以a、b、c可以组成三角形．
③由于1＋2＞2,即a＋b＞c,所以a、b、c可以组成三角形．
④由于a＋b＞c,因此a、b、c可以组成三角形．
（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm
当腰长为6 cm时,周长为6＋6＋7＝19（cm）
当腰长为7 cm时,周长为6＋7＋7＝20（cm）．
∴ 等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．
（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm,7 cm,所以腰长为7 cm,而不能是2 cm．若为2 cm,则2＋2＝4＜7,不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm）,
∴ 等腰三角形的周长为16 cm．
2．等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
如图14-3-3,△ABC中,AB＝AC,则∠B＝∠C
证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．
∵ AB＝AC,∴ 点A在BC的垂直平分线上．
又∵ AD为△ABC的对称轴,
∴ △ABD≌△ACD（轴对称性质）．
∴ ∠B＝∠C
证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D,如图14-3-3,
在△ABD和△ACD中∴ △ABD≌△ACD（SAS）．
∴ ∠B＝∠C
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．
证法三：如图14-3-4,过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE,
在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE（AAS）．
∴ BD＝CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中,∴ Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．
∴ ∠B＝∠C．
证法四：如图14-3-5,分别取AB、AC的中点E、D,连接BD、CE．
∵ AB＝AC,AD＝DC＝AC,AE＝BE＝AB,
∴ AD＝BE＝AE＝DC
在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE（SAS）．
∴ BD＝CE．
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD（SSS）．
∴ ∠ABC＝∠ACB．
【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出,要证两角相等,都是想方设法把它们放在两个三角形中,证两个三角形全等．
3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．
如图14-3-6,在△ABC中,AB＝AC,AD为顶角的平分线,那么AD既是中线,又是高线,这三条线重合．在使用时,在这三条线段中,只要作出其中一条,另外两条也就可以认为作出来了．
即△ABC中,AB＝AC,
若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD＝CD；
若BD＝CD,则AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD；
若AD⊥BC,则BD＝DC,∠BAD＝∠CAD．
因此,等腰三角形中的这条线非常重要,一旦作出,边、角的等量关系就都有了．
【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有,其他三角形中没有．
（2）在一般三角形中,这三条线是不会重合的．
如图14-3-7,在△ABC中,AD为高,AE为中线,AF平分∠BAC,因此,这三条线不重合．只有等腰时,三条线才会重合；反过来,若某一三角形中三线重合,则该三角形为等腰三角形．
（3）在今后的证明题中,经常会使用“三线合一”进行证明．
例如：△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC交AC于D,如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC
证法一：
在△BCD中,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC＝90°．
∴ ∠DBC＝90°－∠C．
在△ABC中,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB．
∴ ∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．
∴ ∠BAC＝2∠DBC
证法二：借助于三线合一的性质,过A作AM⊥BC于M,则AM平分∠BAC,
∴ ∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.
又∵ BD⊥AC交AC于D,AM⊥BC交BC于M,
∴ ∠DBC＝90°－∠C
又∵ AM⊥BC,∴ ∠CAM＝90°－∠C,∴ ∠DBC＝∠CAM
4．等腰三角形的性质3（轴对称性）
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
如图14-3-9,△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,则△ABC的对称轴为AD所在的直线,△ABD≌△ACD．
过D作DE⊥AB,交AB于E,作DF⊥AC,交AC于F．
由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．
同理,过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线,它们都相等．因此,得到等腰三角形的一个重要结论．
重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线,其与两腰所截得的线段都分别对应相等．
5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．
例如：如图14-3-10,△ABC中,AB＝AC,若BD、CE分别为AC、AB边上的高线,则BD＝CE．
证明：∵ AB＝AC,∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
又∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BDC＝∠CEB＝90°．
在△BCD和△CBE中,
∴ △BCD≌△CBE（AAS）．
∴ BD＝CE．
或S△ABC＝AB·CE＝AC·BD．
∵ AB＝AC,∴ BD＝CE．此法较为简便．
同样道理,可分别作出两腰上的中线,两底角的平分线,它们也分别对应相等．
6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
例如：如图14-3-11,△ABC中,若∠B＝∠C,则AB＝AC
证明：过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,
则∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC
因此,这一结论可直接利用．
【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时,一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系,不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．
（2）有了这一结论,为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．
例如：如图14-3-12,△ABC中,AB＝AC,BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．
证明：∵ AB＝AC,
∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD（SAS）．
∴ ∠BCE＝∠CBD,即∠OBC＝∠BCO
∴ OB＝OC（等角对等边）．
【说明】证两条线段相等,若这两条线段在同一个三角形中,可利用等腰三角形的判定定理来证明．
7．已知底边和底边上的高,求作等腰三角形
已知线段a、b,求作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,高为b．
作法：（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；
（3）在MN上截取AD＝b；
（4）连接AB、AC,△ABC就是所求的等腰三角形．
【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线,∴ AB＝AC
∴ △ABC为等腰三角形,如图14-3-13．
（2）以前所作的三角形分别为：已知三边,两边夹角,两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形,今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形,共有五种情况,今后还将学习一些更为复杂的作法,都是以这五种为基础进行作图的．
8．等边三角形（equilateral triangle）
（1）定义：三条边都相等的三角形,叫等边三角形．如图14-3-14,△ABC中,AB＝BC＝CA,则△ABC为等边三角形．
（2）性质：
①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中,若△ABC为等边三角形,则∠A＝∠B＝∠C＝60°．
②除此之外,还具有等腰三角形的一切性质,如三线合一,轴对称等．
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
下面证明以上两条判定．
判定①：如图14-3-15,已知△ABC中,∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ ∠B＝∠C,∴ AB＝AC
又∵ ∠A＝∠B∴ AC＝BC
∴ AB＝AC＝BC,∴ △ABC是等边三角形．
判定②：如图14-3-15,已知△ABC中,AB＝AC,∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ AB＝AC,∴ ∠B＝∠C．
又∵ ∠B＝60°,∴ ∠B＝∠C＝60°．
又∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°,
∴ ∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．
∴ ∠A＝∠B＝∠C,∴ AB＝BC＝AC．
∴ △ABC为等边三角形．
（4）应用：
例如：如图14-3-16,△ABC为等边三角形,D、E为直线BC上的两点,且BD＝BC＝CE,求∠DAE的度数．
分析：要求∠DAE的度数,需分开求,先求∠BAC,再求∠DAB和∠CAE,由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°,又∵ BD＝BC,而BC＝BA,则BD＝BA,∴ △ABD为等腰三角形,∴ ∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°．同理可知,∠CAE＝30°．
∵ △ABC为等边三角形,
∴ AB＝BC＝AC,∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵ BD＝BC,∴ BD＝BC＝AB．
∴ ∠DAB＝∠D,又∵ ∠ABC＝∠D＋∠DAB,
∴ ∠ABC＝2∠DAB＝60°,∴ ∠DAB＝30°．
同理,∠CAE＝30°．
∴ ∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．
【说明】本题中用到了等边三角形的性质．
再如：如图14-3-17,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别为△ABC三边上的点,且BD＝CE＝AF,直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．
求证：△PQR是等边三角形．
分析：本题既用到了等边三角形的性质,又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形,证三边相等难度较大,可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°,而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC,又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°,只需证∠BCF＝∠DAC,由此可联想证△BCF与
△CAD全等．
证明：∵ △ABC为等边三角形,
∴ ∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°,AB＝BC＝CA．
又∵ BD＝CE＝AF,
∴ BF＝DC＝AE
在△ABE和△BCF和△CAD中,
∴ △ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．
∴ ∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．
∵ ∠ACQ＋∠BCF＝60°,∴ ∠ACQ＋∠CAQ＝60°．
∴ ∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°,即∠PQR＝60°．
同理,∠RPQ＝∠PRQ＝60°．
∴△PQR为等边三角形．
【说明】（1）此题证明思路比较清晰,只是步骤书写较繁,书写应认真；
（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式,可仿照两个三角形全等的方式使用．
9．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
如图14-3-18,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,则BC＝AB,这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中,∠C＝90°,若BC＝AB,则∠A＝30°．因此Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°BC＝AB
这一性质在解题中经常用到．
例如：如图14-3-19,在Rt△ABC中,∠BAC为直角,高AD交BC于D,∠B＝30°,BC＝12米,
求CD,BD的长．
∵ 在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,∠B＝30°,
∴ ∠C＝60°,BC＝2AC
∴ AC＝BC＝6（米）．
在Rt△ACD中,∵ AD⊥BC,∠C＝60°,
∴ ∠CAD＝30°．
∴ DC＝AC＝×6＝3（米）．
∴ BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．
【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质,并且用的方式都一样．
10．证明线段相等的方法
到目前为止,学过的证明线段相等的方法,有以下几种：
（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．
（2）等角对等边（在一个三角形中）．
（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．
（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．
（5）中点的概念（在一条直线上）．
（6）利用第三条等量线段．
（7）作辅助线、创造条件．
例如：如图14-3-20,点D、E在BC上,AB＝AC,AD＝AE．求证：BD＝CE．
分析：因BD与CE在一条直线上,且又在两个三角形中,可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明,也可用轴对称的性质进行证明．
证法一：用全等三角形
∵ AB＝AC,∴ ∠B＝∠C
又∵ AD＝AE,∴ ∠ADF＝∠AEF．
又∵ ∠ADF＝∠B＋∠BAD,∠AEF＝∠C＋∠CAE,
∴ ∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中,
AB＝AC,∠BAD＝∠CAE,AD＝AE,
∴ △ABD≌△ACE（SAS）．∴ BD＝CE．
证法二：用中线
如图14-3-20,过A点作AF⊥BC于F．
∵ AB＝AC,AF⊥BC,∴ BF＝CF（三线合一）．
又∵ AD＝AE,AF⊥DE,
∴ DF＝EF（三线合一）．
∴ BF－DF＝CF－EF,∴ BD＝CE．
证法三：用轴对称
过A作BC边上的垂线,垂足为F．
∵ AB＝AC,AF⊥BC,
∴ △ABC关于直线AF对称,∴ BF＝CF．
同理,DF＝EF．∴ BF－DF＝CF－EF．
即BD＝CE．
【说明】从以上的证明可以看出,一个结论有多种证明途径和证明方法．
11．证明角相等的方法
到目前为止,学过的证明角相等的方法,有以下几种：
（1）角平分线的定义及性质．
（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．
（3）等边对等角（在一个三角形中）．
（4）轴对称的性质．
（5）找第三等量角（如∠A＝∠C,∠B＝∠C,则∠A＝∠B）．
（6）作辅助线,创造条件．
例如：如图14-3-21,△ABC中,AB＝AC,∠1＝∠2．
求证：∠BAD＝∠CAD．
分析：要证∠BAD＝∠CAD,因两角在两个三角形中,可考虑选用全等三角形和角平分线,以及轴对称进行证明．
证法一：用全等三角形
∵ ∠1＝∠2,∴ DB＝DC
在△ABD和△ACD中,
AB＝AC,DB＝DC,AD＝AD,
∴ ∠ABD≌△ACD（SSS）．∴ ∠BAD＝∠CAD．
证法二：用轴对称
∵ ∠1＝∠2,∴ DB＝DC
∴ 点D在BC的垂直平分线上．
又∵ AB＝AC,∴ A点也在BC的垂直平分线上．
∴ △ABD与△ACD关于直线AD对称．
∴ ∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．
证法三：用角平分线
∵ ∠1＝∠2,∴ DB＝DC．又∵ AB＝AC,
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上．
∴ AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．
∴ ∠BAD＝∠CAD．
例如：如图14-3-22,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．
分析：要证∠B＝∠CAF,根据全等三角形和等腰三角形已不可能,角平分线也用不上,可考虑用第三等量角．
证明：∵ EF垂直平分AD,∴ FA＝FD．
∴ ∠1＝∠3＋∠4．
又∵ ∠ADC为△ABD的外角,
∴ ∠1＝∠B＋∠2．∴ ∠B＋∠2＝∠3＋∠4．
又∵ ∠2＝∠3,∴ ∠B＝∠4．
即∠B＝∠CAF．
12．三角形中的不等关系
（1）大边对大角：
在一个三角形中,如果两条边不等,那么这两条边所对的角也不等,并且较大的边所对的角也较大,简称“大边对大角”．
如图14-3-23,在△ABC中,若AB＞AC,则∠C＞∠B
（2）大角对大边：
在一个三角形中,如果两个角不等,那么这两个角所对的边也不等,并且较大的角所对的边较大,简称“大角对大边”．
如图14-3-23,在△ABC中,若∠C＞∠B,则AB＞AC．
【说明】（1）上述两个定理的使用条件是在一个三角形中,否则不成立；
（2）上述不等关系具有传递性,即△ABC中的三边分别为a、b、c,若a＞b,b＞c则a＞c；同样所对的角也如此．若△ABC中,∠A＞∠B,∠B＞∠C,则∠A＞∠C
例如：判断下列说法是否正确,为什么?
（1）在一个三角形中,若最长边所对的角为锐角,则此三角形为锐角三角形．
（2）直角三角形中,斜边最长．
（3）钝角三角形中,钝角所对的边不一定是最长边．
分析：此题目的在于考查三角形中边、角不等关系的灵活应用情况．
（1）正确．因最长边对的角是最大角,而最大角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形．
（2）正确．因为直角三角形中,直角最大,那么斜边应是最长的．
（3）不正确．因为钝角三角形中,钝角最大,它所对的边应该最大,所以,上述说法不正确．
再如：已知△ABC中,AB＞AC,AD为BC边上的中线．
求证：∠BAD＜∠CAD
分析：要比较两个角的大小,需将其放入同一个三角形中．如何放入一个三角形中,通常采用平移法,延长AD至E,使DE＝AD,连接BE,则△BDE≌△CDA,有∠E＝∠CAD,BE＝AC,在△ABE中,AB＞BE．则∠E＞∠BAD,即∠BAD＜∠CAD成立．
证明：延长AD至E,使DE＝AD,连接BE
在△ADC和△EDB中,AD＝ED,∠ADC＝∠EDB,BD＝DC,
∴ △ADC≌△EDB（SAS）．∴ ∠CAD＝∠E,AC＝BE．
又∵ AB＞AC,∴AB＞BE．
在△ABE中,∵ AB＞BE,∴ ∠E＞∠BAD．
又∵ ∠E＝∠CAD,∴ ∠CAD＞∠BAD
即∠BAD＜∠CAD．
【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD,通过辅助线移至一个三角形ABE中,而这种移法较为常用．
【题目变式1】
如图14-3-25,在△ABC中,AB＞AC,AD为角平分线．求证：BD＞CD．
证明：在AB上截取AE＝AC,连接DE．
则△ADE≌△ADC（SAS）．∴ DE＝DC,∠3＝∠4．
又∵ ∠BED＞∠3,∴ ∠BED＞∠4．又∵ ∠4＞∠B,∴ ∠BED＞∠B．
∴ BD＞DE．即BD＞DC
【题目变式2】
如图14-3-26,在△ABC中,AB＞AC,AD为BC边上的高．求证：∠BAD＞∠CAD
证明：在△ABC中,∵ AB＞AC,
∴ ∠B＜∠C．又∵ AD⊥BC于D,
∴ ∠B＋∠BAD＝90°,∠C＋∠CAD＝90°．
∴ ∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．
而∠B＜∠C,∴ ∠BAD＞∠CAD．
13．得到等腰三角形的方法
（1）如图14-3-27,一直线平行于等腰三角形底边,与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中,△ADE是等腰三角形．
（2）把一张对边平行的纸,像图14-3-28那样折叠,重合部分是一个等腰三角形．如图中,△FBD是等腰三角形．
（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．
（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（6）36°角为顶角的等腰三角形,底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．
（7）90°角为顶角的等腰直角三角形,顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1,△ABC中,AB＝AC,则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰,另一条边BC叫底边,两腰所夹的角叫顶角,如∠BAC,底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．
如图14-3-2中,∠C＝90°,AC＝BC,那么,AC、BC为腰,AB边为底,∠A、∠B为底角,∠C为顶角．
【说明】要理解等腰三角形的定义,需注意以下几点：
（1）等腰三角形的底不一定在下方,而顶角不一定在上方,如图14-3-2中,AB为底,∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．
（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中,AB＝AC＝m,BC＝a,则2m＞a,即m＞时,才能构成三角形,否则不成立．如边长分别为2,2.5的三条线段不能构成三角形,因为2＋2＜5．
例如：（1）下列各组数据为边长时,能否组成三角形?
①a＝2,b＝3,c＝5；②a＝4,b＝3,c＝2；
③a＝1,b＝2,c＝2；④a＝2 005,b＝2 004,c＝2 008．
（2）已知等腰三角形的两边为6 cm,7 cm,求其周长．
（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm,7 cm,求其周长．
（1）①由于2＋3＝5,即a＋b＝c,而不满足a＋b＞c,∴ 不能组成三角形．
②由于2＋3＝5＞4,即b＋c＞a,所以a、b、c可以组成三角形．
③由于1＋2＞2,即a＋b＞c,所以a、b、c可以组成三角形．
④由于a＋b＞c,因此a、b、c可以组成三角形．
（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm
当腰长为6 cm时,周长为6＋6＋7＝19（cm）
当腰长为7 cm时,周长为6＋7＋7＝20（cm）．
∴ 等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．
（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm,7 cm,所以腰长为7 cm,而不能是2 cm．若为2 cm,则2＋2＝4＜7,不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm）,
∴ 等腰三角形的周长为16 cm．
2．等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
如图14-3-3,△ABC中,AB＝AC,则∠B＝∠C
证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．
∵ AB＝AC,∴ 点A在BC的垂直平分线上．
又∵ AD为△ABC的对称轴,
∴ △ABD≌△ACD（轴对称性质）．
∴ ∠B＝∠C
证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D,如图14-3-3,
在△ABD和△ACD中∴ △ABD≌△ACD（SAS）．
∴ ∠B＝∠C
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．
证法三：如图14-3-4,过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE,
在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE（AAS）．
∴ BD＝CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中,∴ Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．
∴ ∠B＝∠C．
证法四：如图14-3-5,分别取AB、AC的中点E、D,连接BD、CE．
∵ AB＝AC,AD＝DC＝AC,AE＝BE＝AB,
∴ AD＝BE＝AE＝DC
在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE（SAS）．
∴ BD＝CE．
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD（SSS）．
∴ ∠ABC＝∠ACB．
【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出,要证两角相等,都是想方设法把它们放在两个三角形中,证两个三角形全等．
3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．
如图14-3-6,在△ABC中,AB＝AC,AD为顶角的平分线,那么AD既是中线,又是高线,这三条线重合．在使用时,在这三条线段中,只要作出其中一条,另外两条也就可以认为作出来了．
即△ABC中,AB＝AC,
若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD＝CD；
若BD＝CD,则AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD；
若AD⊥BC,则BD＝DC,∠BAD＝∠CAD．
因此,等腰三角形中的这条线非常重要,一旦作出,边、角的等量关系就都有了．
【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有,其他三角形中没有．
（2）在一般三角形中,这三条线是不会重合的．
如图14-3-7,在△ABC中,AD为高,AE为中线,AF平分∠BAC,因此,这三条线不重合．只有等腰时,三条线才会重合；反过来,若某一三角形中三线重合,则该三角形为等腰三角形．
（3）在今后的证明题中,经常会使用“三线合一”进行证明．
例如：△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC交AC于D,如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC
证法一：
在△BCD中,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC＝90°．
∴ ∠DBC＝90°－∠C．
在△ABC中,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB．
∴ ∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．
∴ ∠BAC＝2∠DBC
证法二：借助于三线合一的性质,过A作AM⊥BC于M,则AM平分∠BAC,
∴ ∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.
又∵ BD⊥AC交AC于D,AM⊥BC交BC于M,
∴ ∠DBC＝90°－∠C
又∵ AM⊥BC,∴ ∠CAM＝90°－∠C,∴ ∠DBC＝∠CAM
4．等腰三角形的性质3（轴对称性）
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
如图14-3-9,△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,则△ABC的对称轴为AD所在的直线,△ABD≌△ACD．
过D作DE⊥AB,交AB于E,作DF⊥AC,交AC于F．
由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．
同理,过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线,它们都相等．因此,得到等腰三角形的一个重要结论．
重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线,其与两腰所截得的线段都分别对应相等．
5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．
例如：如图14-3-10,△ABC中,AB＝AC,若BD、CE分别为AC、AB边上的高线,则BD＝CE．
证明：∵ AB＝AC,∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
又∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BDC＝∠CEB＝90°．
在△BCD和△CBE中,
∴ △BCD≌△CBE（AAS）．
∴ BD＝CE．
或S△ABC＝AB·CE＝AC·BD．
∵ AB＝AC,∴ BD＝CE．此法较为简便．
同样道理,可分别作出两腰上的中线,两底角的平分线,它们也分别对应相等．
6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
例如：如图14-3-11,△ABC中,若∠B＝∠C,则AB＝AC
证明：过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,
则∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC
因此,这一结论可直接利用．
【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时,一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系,不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．
（2）有了这一结论,为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．
例如：如图14-3-12,△ABC中,AB＝AC,BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．
证明：∵ AB＝AC,
∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD（SAS）．
∴ ∠BCE＝∠CBD,即∠OBC＝∠BCO
∴ OB＝OC（等角对等边）．
【说明】证两条线段相等,若这两条线段在同一个三角形中,可利用等腰三角形的判定定理来证明．
7．已知底边和底边上的高,求作等腰三角形
已知线段a、b,求作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,高为b．
作法：（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；
（3）在MN上截取AD＝b；
（4）连接AB、AC,△ABC就是所求的等腰三角形．
【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线,∴ AB＝AC
∴ △ABC为等腰三角形,如图14-3-13．
（2）以前所作的三角形分别为：已知三边,两边夹角,两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形,今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形,共有五种情况,今后还将学习一些更为复杂的作法,都是以这五种为基础进行作图的．
8．等边三角形（equilateral triangle）
（1）定义：三条边都相等的三角形,叫等边三角形．如图14-3-14,△ABC中,AB＝BC＝CA,则△ABC为等边三角形．
（2）性质：
①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中,若△ABC为等边三角形,则∠A＝∠B＝∠C＝60°．
②除此之外,还具有等腰三角形的一切性质,如三线合一,轴对称等．
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
下面证明以上两条判定．
判定①：如图14-3-15,已知△ABC中,∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ ∠B＝∠C,∴ AB＝AC
又∵ ∠A＝∠B∴ AC＝BC
∴ AB＝AC＝BC,∴ △ABC是等边三角形．
判定②：如图14-3-15,已知△ABC中,AB＝AC,∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ AB＝AC,∴ ∠B＝∠C．
又∵ ∠B＝60°,∴ ∠B＝∠C＝60°．
又∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°,
∴ ∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．
∴ ∠A＝∠B＝∠C,∴ AB＝BC＝AC．
∴ △ABC为等边三角形．
（4）应用：
例如：如图14-3-16,△ABC为等边三角形,D、E为直线BC上的两点,且BD＝BC＝CE,求∠DAE的度数．
分析：要求∠DAE的度数,需分开求,先求∠BAC,再求∠DAB和∠CAE,由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°,又∵ BD＝BC,而BC＝BA,则BD＝BA,∴ △ABD为等腰三角形,∴ ∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°．同理可知,∠CAE＝30°．
∵ △ABC为等边三角形,
∴ AB＝BC＝AC,∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵ BD＝BC,∴ BD＝BC＝AB．
∴ ∠DAB＝∠D,又∵ ∠ABC＝∠D＋∠DAB,
∴ ∠ABC＝2∠DAB＝60°,∴ ∠DAB＝30°．
同理,∠CAE＝30°．
∴ ∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．
【说明】本题中用到了等边三角形的性质．
再如：如图14-3-17,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别为△ABC三边上的点,且BD＝CE＝AF,直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．
求证：△PQR是等边三角形．
分析：本题既用到了等边三角形的性质,又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形,证三边相等难度较大,可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°,而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC,又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°,只需证∠BCF＝∠DAC,由此可联想证△BCF与
△CAD全等．
证明：∵ △ABC为等边三角形,
∴ ∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°,AB＝BC＝CA．
又∵ BD＝CE＝AF,
∴ BF＝DC＝AE
在△ABE和△BCF和△CAD中,
∴ △ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．
∴ ∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．
∵ ∠ACQ＋∠BCF＝60°,∴ ∠ACQ＋∠CAQ＝60°．
∴ ∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°,即∠PQR＝60°．
同理,∠RPQ＝∠PRQ＝60°．
∴△PQR为等边三角形．
【说明】（1）此题证明思路比较清晰,只是步骤书写较繁,书写应认真；
（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式,可仿照两个三角形全等的方式使用．
9．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
如图14-3-18,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,则BC＝AB,这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中,∠C＝90°,若BC＝AB,则∠A＝30°．因此Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°BC＝AB
这一性质在解题中经常用到．
例如：如图14-3-19,在Rt△ABC中,∠BAC为直角,高AD交BC于D,∠B＝30°,BC＝12米,
求CD,BD的长．
∵ 在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,∠B＝30°,
∴ ∠C＝60°,BC＝2AC
∴ AC＝BC＝6（米）．
在Rt△ACD中,∵ AD⊥BC,∠C＝60°,
∴ ∠CAD＝30°．
∴ DC＝AC＝×6＝3（米）．
∴ BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．
【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质,并且用的方式都一样．
10．证明线段相等的方法
到目前为止,学过的证明线段相等的方法,有以下几种：
（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．
（2）等角对等边（在一个三角形中）．
（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．
（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．
（5）中点的概念（在一条直线上）．
（6）利用第三条等量线段．
（7）作辅助线、创造条件．
例如：如图14-3-20,点D、E在BC上,AB＝AC,AD＝AE．求证：BD＝CE．
分析：因BD与CE在一条直线上,且又在两个三角形中,可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明,也可用轴对称的性质进行证明．
证法一：用全等三角形
∵ AB＝AC,∴ ∠B＝∠C
又∵ AD＝AE,∴ ∠ADF＝∠AEF．
又∵ ∠ADF＝∠B＋∠BAD,∠AEF＝∠C＋∠CAE,
∴ ∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中,
AB＝AC,∠BAD＝∠CAE,AD＝AE,
∴ △ABD≌△ACE（SAS）．∴ BD＝CE．
证法二：用中线
如图14-3-20,过A点作AF⊥BC于F．
∵ AB＝AC,AF⊥BC,∴ BF＝CF（三线合一）．
又∵ AD＝AE,AF⊥DE,
∴ DF＝EF（三线合一）．
∴ BF－DF＝CF－EF,∴ BD＝CE．
证法三：用轴对称
过A作BC边上的垂线,垂足为F．
∵ AB＝AC,AF⊥BC,
∴ △ABC关于直线AF对称,∴ BF＝CF．
同理,DF＝EF．∴ BF－DF＝CF－EF．
即BD＝CE．
【说明】从以上的证明可以看出,一个结论有多种证明途径和证明方法．
11．证明角相等的方法
到目前为止,学过的证明角相等的方法,有以下几种：
（1）角平分线的定义及性质．
（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．
（3）等边对等角（在一个三角形中）．
（4）轴对称的性质．
（5）找第三等量角（如∠A＝∠C,∠B＝∠C,则∠A＝∠B）．
（6）作辅助线,创造条件．
例如：如图14-3-21,△ABC中,AB＝AC,∠1＝∠2．
求证：∠BAD＝∠CAD．
分析：要证∠BAD＝∠CAD,因两角在两个三角形中,可考虑选用全等三角形和角平分线,以及轴对称进行证明．
证法一：用全等三角形
∵ ∠1＝∠2,∴ DB＝DC
在△ABD和△ACD中,
AB＝AC,DB＝DC,AD＝AD,
∴ ∠ABD≌△ACD（SSS）．∴ ∠BAD＝∠CAD．
证法二：用轴对称
∵ ∠1＝∠2,∴ DB＝DC
∴ 点D在BC的垂直平分线上．
又∵ AB＝AC,∴ A点也在BC的垂直平分线上．
∴ △ABD与△ACD关于直线AD对称．
∴ ∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．
证法三：用角平分线
∵ ∠1＝∠2,∴ DB＝DC．又∵ AB＝AC,
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上．
∴ AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．
∴ ∠BAD＝∠CAD．
例如：如图14-3-22,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．
分析：要证∠B＝∠CAF,根据全等三角形和等腰三角形已不可能,角平分线也用不上,可考虑用第三等量角．
证明：∵ EF垂直平分AD,∴ FA＝FD．
∴ ∠1＝∠3＋∠4．
又∵ ∠ADC为△ABD的外角,
∴ ∠1＝∠B＋∠2．∴ ∠B＋∠2＝∠3＋∠4．
又∵ ∠2＝∠3,∴ ∠B＝∠4．
即∠B＝∠CAF．
12．三角形中的不等关系
（1）大边对大角：
在一个三角形中,如果两条边不等,那么这两条边所对的角也不等,并且较大的边所对的角也较大,简称“大边对大角”．
如图14-3-23,在△ABC中,若AB＞AC,则∠C＞∠B
（2）大角对大边：
在一个三角形中,如果两个角不等,那么这两个角所对的边也不等,并且较大的角所对的边较大,简称“大角对大边”．
如图14-3-23,在△ABC中,若∠C＞∠B,则AB＞AC．
【说明】（1）上述两个定理的使用条件是在一个三角形中,否则不成立；
（2）上述不等关系具有传递性,即△ABC中的三边分别为a、b、c,若a＞b,b＞c则a＞c；同样所对的角也如此．若△ABC中,∠A＞∠B,∠B＞∠C,则∠A＞∠C
例如：判断下列说法是否正确,为什么?
（1）在一个三角形中,若最长边所对的角为锐角,则此三角形为锐角三角形．
（2）直角三角形中,斜边最长．
（3）钝角三角形中,钝角所对的边不一定是最长边．
分析：此题目的在于考查三角形中边、角不等关系的灵活应用情况．
（1）正确．因最长边对的角是最大角,而最大角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形．
（2）正确．因为直角三角形中,直角最大,那么斜边应是最长的．
（3）不正确．因为钝角三角形中,钝角最大,它所对的边应该最大,所以,上述说法不正确．
再如：已知△ABC中,AB＞AC,AD为BC边上的中线．
求证：∠BAD＜∠CAD
分析：要比较两个角的大小,需将其放入同一个三角形中．如何放入一个三角形中,通常采用平移法,延长AD至E,使DE＝AD,连接BE,则△BDE≌△CDA,有∠E＝∠CAD,BE＝AC,在△ABE中,AB＞BE．则∠E＞∠BAD,即∠BAD＜∠CAD成立．
证明：延长AD至E,使DE＝AD,连接BE
在△ADC和△EDB中,AD＝ED,∠ADC＝∠EDB,BD＝DC,
∴ △ADC≌△EDB（SAS）．∴ ∠CAD＝∠E,AC＝BE．
又∵ AB＞AC,∴AB＞BE．
在△ABE中,∵ AB＞BE,∴ ∠E＞∠BAD．
又∵ ∠E＝∠CAD,∴ ∠CAD＞∠BAD
即∠BAD＜∠CAD．
【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD,通过辅助线移至一个三角形ABE中,而这种移法较为常用．
【题目变式1】
如图14-3-25,在△ABC中,AB＞AC,AD为角平分线．求证：BD＞CD．
证明：在AB上截取AE＝AC,连接DE．
则△ADE≌△ADC（SAS）．∴ DE＝DC,∠3＝∠4．
又∵ ∠BED＞∠3,∴ ∠BED＞∠4．又∵ ∠4＞∠B,∴ ∠BED＞∠B．
∴ BD＞DE．即BD＞DC
【题目变式2】
如图14-3-26,在△ABC中,AB＞AC,AD为BC边上的高．求证：∠BAD＞∠CAD
证明：在△ABC中,∵ AB＞AC,
∴ ∠B＜∠C．又∵ AD⊥BC于D,
∴ ∠B＋∠BAD＝90°,∠C＋∠CAD＝90°．
∴ ∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．
而∠B＜∠C,∴ ∠BAD＞∠CAD．
13．得到等腰三角形的方法
（1）如图14-3-27,一直线平行于等腰三角形底边,与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中,△ADE是等腰三角形．
（2）把一张对边平行的纸,像图14-3-28那样折叠,重合部分是一个等腰三角形．如图中,△FBD是等腰三角形．
（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．
（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（6）36°角为顶角的等腰三角形,底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．
（7）90°角为顶角的等腰直角三角形,顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．