如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,二面角S-CD-A的平面角为45°,M为AB中点,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/01 11:52:25
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,二面角S-CD-A的平面角为45°,M为AB中点,N为SC中点.
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/0b/b0b1acdf7c868f622f5650f45693fa3f.jpg)
(1)证明:MN∥平面SAD;
(2)证明:平面SMC⊥平面SCD;
(3)若
=λ
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/0b/b0b1acdf7c868f622f5650f45693fa3f.jpg)
(1)证明:MN∥平面SAD;
(2)证明:平面SMC⊥平面SCD;
(3)若
CD |
AD |
证明:(1)取SD中点E,连接AE,NE,
则NE=
1
2CD=AM,NE∥CD∥AM,
∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE…(1分)
又∵MN⊄平面SAD…(3分)
(2)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥CD,∵底面ABCD为矩形,∴AD⊥CD,
又∵SA∩AD=A,∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥SD∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角,
即∠SDA=45°…(5分)∴△SAD为等腰直角三角形,∴AE⊥SD∵CD⊥平面SAD,∴CD⊥AE,
又SD∩CD=D,∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE,∴MN⊥平面SCD,∵MN⊂平面SMC,∴平面SMC⊥平面SCD…(8分)
(3)∵
CD
AD=λ,设AD=SA=a,则CD=λa
由(2)可得MN⊥平面SCD,∴SN即为SM在平面SCD内的射影∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角,
即∠MSN=30°…(9分)
而MN=AE=
2
2a,∴Rt△SAM中,SM=
a2+(
λa
2)2,而MN=AE=
2
2a,∴Rt△SAM中,由sin∠MSN=
MN
SN得
1
2=
2
2a
a2+(
λa
2)2,解得λ=2
当λ=2时,直线SM与平面SCD所成角为30°(14分)
则NE=
1
2CD=AM,NE∥CD∥AM,
∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE…(1分)
又∵MN⊄平面SAD…(3分)
(2)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥CD,∵底面ABCD为矩形,∴AD⊥CD,
又∵SA∩AD=A,∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥SD∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角,
即∠SDA=45°…(5分)∴△SAD为等腰直角三角形,∴AE⊥SD∵CD⊥平面SAD,∴CD⊥AE,
又SD∩CD=D,∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE,∴MN⊥平面SCD,∵MN⊂平面SMC,∴平面SMC⊥平面SCD…(8分)
(3)∵
CD
AD=λ,设AD=SA=a,则CD=λa
由(2)可得MN⊥平面SCD,∴SN即为SM在平面SCD内的射影∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角,
即∠MSN=30°…(9分)
而MN=AE=
2
2a,∴Rt△SAM中,SM=
a2+(
λa
2)2,而MN=AE=
2
2a,∴Rt△SAM中,由sin∠MSN=
MN
SN得
1
2=
2
2a
a2+(
λa
2)2,解得λ=2
当λ=2时,直线SM与平面SCD所成角为30°(14分)
如图,如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,SA⊥底面ABCD,M为SA的中点,N为CD的中点.
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=SB,点E为AB的中点,点F为SC的中点
四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,又二面角P-CD-B为45°,
如图在四棱锥S——ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点,求证平面EBD⊥平面A
在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点,求证
如图,四棱锥S-ABCD,底面ABCD为平行四边形,E是SA的中点,求证:平面EBD⊥平面ABCD
平面与平面垂直判定,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,∠ABC=45°,SA=SB,证明:S
四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M为SC的中点.求证:SA平行面BDM
如图;四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形,SA垂直平面ABCD,E是SC的中点,求证;平面EBD垂直平面SAC(请
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,M,N分别为AB,PC中点,求证