求（x²+1/2√x）10次方的展开式中的常数项

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/26 04:05:24

求[x²+1/(2√x)]¹⁰的展开式中的常数项
T‹r+1›=C(10,r)[(x²)^(10-r)][1/(2√x)^r]=C(10,r)[(1/2)^r]x^[20-2r-(r/2)]
=C(10,r)[(1/2)^r]x^(20-5r/2)
由20-5r/2=0,5r=40,故r=8；即展开式中第9项是常数项=C(10,8)(1/2)⁸=C(10,2)(1/2⁸)
=[(10×9)/2!](1/256)=45/256.
再问： C(10，r)[(1/2)^r]x^[20-2r-(r/2)]这个怎么得到的？
再答：在第r+1项中，T‹r+1›=C(10，r)[(x²)^(10-r)][1/(2√x)^r] 其中(x²)^(10-r)=x^(20-2r)；1/(2√x)^r=[(1/2)^r]x^(-r/2)；同底的幂相乘，底不变，指数相加，即得T‹r+1›=C(10，r)[(1/2)^r]x^[20-2r-(r/2)] =C(10，r)[(1/2)^r]x^(20-5r/2)

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