已知抛物线=aX2+bX+c的对称轴为X=1交X轴于A、B两点（A在B左侧）且AB=4,交y轴于点C

已知抛物线=aX2+bX+c的对称轴为X=1交X轴于A、B两点（A在B左侧）且AB=4,交y轴于点C
（1）在此抛物线上求一点p,使得PC=PB
（2）在此抛物线上求一点p,使得三角形PBC是以BC为一直角边的直角三角形
（3）在此抛物线上求一点p,使得三角形PBC是等腰三角形

对称轴x=-b/(2a)=1 =>-b/a=2 => b=-2a
令y=0,可得 ax^2+bx+c=0
x1+x2=-b/a=1/2,x1x2=c/a
AB^2=|x1-x2|^2=4^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(-b/a)^2-4c/a
=4-4c/a
=16 => c/a=-3 => c=-3a
∴抛物线方程为y=ax^2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)
交y轴与点C(0,c),即x=0时,y=c=-3a
C点的坐标应为已知,否则下面的题目都求不出来
（或者求出来的结果含有未知数a）
再问： 啊，，sorry。c（0，-3）
再答： 那么，c=-3=-3a => a=1 => b=-2a=-2 ∴抛物线方程为y=x^2-2x-3 （1）对称轴为x=1，两零点距离AB=4，且A在B左侧 由抛物线对称性知，有 A=A(-1,0), B=B(3,0)，已知C=C(0,-3) 得BC中点为M=M(3/2,-3/2) PB=PC，则必有PM⊥BC BC斜率为k(BC)=1，则PM斜率为k(PM)=-1/k(BC)=-1 ∴直线PM方程为 y=-(x-3/2)-3/2=-x 直线PM与抛物线的交点即为所求的P点 将直线代入抛物线可得 -x=x^2-2x-3，解得x=(1±√13)/2 由此可得交点为P1((1+√13)/2,-(1+√13)/2)，P2((1-√13)/2,-(1-√13)/2) （2）△PBC以BC为直角边，则有PB⊥BC或PC⊥BC 已求得k(BC)=1，则k(PB)=k(PC)=-1/k(BC)=-1 则PB直线方程为 y=-(x-3)=-x+3，PC直线方程为 y=-x-3 将PB代入抛物线得 -x+3=x^2-2x-3，可解得P(3,0), P1(-2,5) 将PC代入抛物线得 -x-3=x^2-2x-3，可解得P(0,-3), P2(1,-4) 其中P=(3,0)或(0,-3)为已知的点B,C，故舍去 ∴所求点为P1(-2,5), P2(1,-4) （3）上述（1）所求的两点满足PB=PC，显然△PBC是等腰三角形 设所求点为P(x,y)，其中y=x^2-2x-3 若BP=BC，则有 (x-3)^2+y^2=3^2+3^2=18 代入y=x^2-2x-3，可解得所求点为 P1(-1.18,0.74), P2(1.32,-3.90), P3(3.86,4.16) {另一解P(0,-3)=C(0,-3)，舍去} （由于要解三次方程，太复杂，用软件画图求的近似值） 若CP=CB，则有 x^2+(y+3)^2=18 代入y，解得所求点为P1(-1.25,1.05) {另一解P(3,0)=B(3,0)，舍去} ∴综上所述，满足△PBC是等腰三角形的点共有6个 其中CP=CB时，有1个； PB=PC时，有2个； BP=BC时，有3个。