请问,三维向量a(a1,a2,a3)逆时针围绕三维向量b(b1,b2,b3)转X度之后,如何计算得到的新向量?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 00:08:30
请问,三维向量a(a1,a2,a3)逆时针围绕三维向量b(b1,b2,b3)转X度之后,如何计算得到的新向量?
当然是可以的,只不过很繁,方法有二.
首先我认为b(b1,b2,b3)是单位向量,若不是先化成单位向量,以下都是按单位向量计算.
法一:
设得到的向量是c(c1,c2,c3).他满足三个条件.
1、dot(c,b)=dot(a,b)
2、=x
3、|c|=|a|
应用这三个条件,列方程就可以解出c,但是很繁的.
(注:其中dot表示点乘,cross表示叉乘,表示两向量夹角,||表示求向量长度)
法二:
先把坐标系做一个变换,使得b向量成为新坐标系中的z轴,再来做旋转x度的变换,之后再变换回去就得到了c向量.
设构造的一个A矩阵,它是正交矩阵,它是坐标变换的矩阵.
那么a向量变过去成为a'=Aa,
在做旋转变换,设T是旋转x度的变换矩阵.旋转后变作a''=TAa.
在变回去 c=a'''=A'TAa
总之c=A'TAa
其中:
c=
[c1
c2
c3]
;
a=
[a1
a2
a3]
;
A =
[ b2/(b2^2+b1^2)^(1/2),-b1/(b2^2+b1^2)^(1/2),0]
[ b1/(b2^2+b1^2)^(1/2)*b3,b3*b2/(b2^2+b1^2)^(1/2),(b3^2-1)/(b2^2+b1^2)^(1/2)]
[ b1,b2,b3]
;
T=
[ cos(x),-sin(x),0]
[ sin(x),cos(x),0]
[ 0,0,1]
如果要表示具体的结果很烦的,这个形式还算是简洁了.
我用matlab算了一下,结果很繁.
把 各矩阵代入得
c=
[c1
c2
c3]
=
[ (a1*b2^2*cos(x)+a1*b1^2*b3^2*cos(x)+a1*b1^2*b2^2+a1*b1^4-b1*a2*b2*cos(x)-a2*b3*sin(x)*b1^2-a2*b3*b2^2*sin(x)+a2*b3^2*b2*b1*cos(x)+b1*a2*b2^3+b1^3*a2*b2-a3*b2*sin(x)*b3^2+a3*b2*sin(x)+a3*b1*b3^3*cos(x)-a3*b3*cos(x)*b1+a3*b1*b3*b2^2+a3*b1^3*b3)/(b2^2+b1^2)
(-a1*b1*b2*cos(x)+a1*b3*b2^2*sin(x)+a1*b3*sin(x)*b1^2+a1*b3^2*b2*b1*cos(x)+a1*b1*b2^3+a1*b1^3*b2+a2*b1^2*cos(x)+a2*b3^2*b2^2*cos(x)+a2*b2^4+a2*b2^2*b1^2+a3*b1*sin(x)*b3^2-a3*b1*sin(x)+a3*b3^3*b2*cos(x)-a3*b3*b2*cos(x)+a3*b3*b2^3+a3*b3*b2*b1^2)/(b2^2+b1^2)
(a1*b2*sin(x)*b3^2-a1*b2*sin(x)+a1*b1*b3^3*cos(x)-a1*b1*b3*cos(x)+a1*b1*b3*b2^2+a1*b1^3*b3-a2*b1*sin(x)*b3^2+a2*b1*sin(x)+a2*b3^3*b2*cos(x)-a2*b3*b2*cos(x)+a2*b3*b2^3+a2*b3*b2*b1^2+a3*cos(x)*b3^4-2*a3*b3^2*cos(x)+a3*cos(x)+a3*b3^2*b2^2+a3*b1^2*b3^2)/(b2^2+b1^2)]
首先我认为b(b1,b2,b3)是单位向量,若不是先化成单位向量,以下都是按单位向量计算.
法一:
设得到的向量是c(c1,c2,c3).他满足三个条件.
1、dot(c,b)=dot(a,b)
2、=x
3、|c|=|a|
应用这三个条件,列方程就可以解出c,但是很繁的.
(注:其中dot表示点乘,cross表示叉乘,表示两向量夹角,||表示求向量长度)
法二:
先把坐标系做一个变换,使得b向量成为新坐标系中的z轴,再来做旋转x度的变换,之后再变换回去就得到了c向量.
设构造的一个A矩阵,它是正交矩阵,它是坐标变换的矩阵.
那么a向量变过去成为a'=Aa,
在做旋转变换,设T是旋转x度的变换矩阵.旋转后变作a''=TAa.
在变回去 c=a'''=A'TAa
总之c=A'TAa
其中:
c=
[c1
c2
c3]
;
a=
[a1
a2
a3]
;
A =
[ b2/(b2^2+b1^2)^(1/2),-b1/(b2^2+b1^2)^(1/2),0]
[ b1/(b2^2+b1^2)^(1/2)*b3,b3*b2/(b2^2+b1^2)^(1/2),(b3^2-1)/(b2^2+b1^2)^(1/2)]
[ b1,b2,b3]
;
T=
[ cos(x),-sin(x),0]
[ sin(x),cos(x),0]
[ 0,0,1]
如果要表示具体的结果很烦的,这个形式还算是简洁了.
我用matlab算了一下,结果很繁.
把 各矩阵代入得
c=
[c1
c2
c3]
=
[ (a1*b2^2*cos(x)+a1*b1^2*b3^2*cos(x)+a1*b1^2*b2^2+a1*b1^4-b1*a2*b2*cos(x)-a2*b3*sin(x)*b1^2-a2*b3*b2^2*sin(x)+a2*b3^2*b2*b1*cos(x)+b1*a2*b2^3+b1^3*a2*b2-a3*b2*sin(x)*b3^2+a3*b2*sin(x)+a3*b1*b3^3*cos(x)-a3*b3*cos(x)*b1+a3*b1*b3*b2^2+a3*b1^3*b3)/(b2^2+b1^2)
(-a1*b1*b2*cos(x)+a1*b3*b2^2*sin(x)+a1*b3*sin(x)*b1^2+a1*b3^2*b2*b1*cos(x)+a1*b1*b2^3+a1*b1^3*b2+a2*b1^2*cos(x)+a2*b3^2*b2^2*cos(x)+a2*b2^4+a2*b2^2*b1^2+a3*b1*sin(x)*b3^2-a3*b1*sin(x)+a3*b3^3*b2*cos(x)-a3*b3*b2*cos(x)+a3*b3*b2^3+a3*b3*b2*b1^2)/(b2^2+b1^2)
(a1*b2*sin(x)*b3^2-a1*b2*sin(x)+a1*b1*b3^3*cos(x)-a1*b1*b3*cos(x)+a1*b1*b3*b2^2+a1*b1^3*b3-a2*b1*sin(x)*b3^2+a2*b1*sin(x)+a2*b3^3*b2*cos(x)-a2*b3*b2*cos(x)+a2*b3*b2^3+a2*b3*b2*b1^2+a3*cos(x)*b3^4-2*a3*b3^2*cos(x)+a3*cos(x)+a3*b3^2*b2^2+a3*b1^2*b3^2)/(b2^2+b1^2)]
已知a向量(a1,a2,a3)b向量(b1,b2,b3)则a1/b1=a2/b2=a3/b3是a向量//b向量的 A充.
设A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3) 是两个三维向量,且ATB={3 0 2 , 6 0 4 , 9
证明向量组线性相关已知,A:a1,a2,a3,B:b1,b2,b3.b1=a1-3a2-a3.b2=2a1+a2.b3=
已知两个非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
对于向量a(a1,a2,a3)与b(b1,b2,b3)
【速求解】设a1,a2,a3是三维向量空间R3的基,b1=2a1+3a2+33,b2=2a1+a2+2a3,b3=a1+
n维向量计算已知a1,a2,b1,b2,y都是三维列向量,且行列式|a1,b2,y|=|a1,b2,y|=|a2,b1,
若向量组b1,b2,b3由向量组a1,a2,a3线性表示为b1=a1-a2+a3,b2=a1+a2-a3,b3=-a1+
设向量组a1,a2,a3 线性无关,又向量组b1=a1 ,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,证明b1,b2,b3
一道线性代数小题设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b
请问,若向量组a1,a2,a3能由向量组b1,b2,b3线性表示,则a1,a2,a3线性相关.请问这
请问刘老师:已知向量组a1,a2,a3线性无关,b1=a1+a2,b2=a1+2a2+a3,b3=a2+a3,