高等代数 设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 19:13:28
高等代数 设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一
高等代数
设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一个n阶实对称正交矩阵A使得α为A的第一列.
高等代数
设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一个n阶实对称正交矩阵A使得α为A的第一列.
可以构造一个以a为第一列的Householder矩阵
设a=(a1,…,an)^T
令b=(b1,…,bn)^T
其中令1-2b1^2=a1,则b1=√((1-a1)/2),令-2bib1=ai,则bi=-ai/(2b1)=-ai/(2√(1-a1)/2))(i=2,…,n)
则b^Tb=(1-a1)/2+a2^2/(2(1-a1))=(1-2a1+a1^2+a2^2+…+an^2)/(2(1-a1))=(1-2a1+1)/(2-2a1)=1
所以b为单位列向量
令A=E-2bb^T,则A的第一列为a
且A^T=(E-2bb^T)^T=E-2bb^T=A从而A为对称矩阵
AA^T=(E-2bb^T)(E-2bb^T)=E-4bb^T+4bb^Tbb^T=E-4bb^T+4b(b^Tb)b^T=E,从而A为正交矩阵
设a=(a1,…,an)^T
令b=(b1,…,bn)^T
其中令1-2b1^2=a1,则b1=√((1-a1)/2),令-2bib1=ai,则bi=-ai/(2b1)=-ai/(2√(1-a1)/2))(i=2,…,n)
则b^Tb=(1-a1)/2+a2^2/(2(1-a1))=(1-2a1+a1^2+a2^2+…+an^2)/(2(1-a1))=(1-2a1+1)/(2-2a1)=1
所以b为单位列向量
令A=E-2bb^T,则A的第一列为a
且A^T=(E-2bb^T)^T=E-2bb^T=A从而A为对称矩阵
AA^T=(E-2bb^T)(E-2bb^T)=E-4bb^T+4bb^Tbb^T=E-4bb^T+4b(b^Tb)b^T=E,从而A为正交矩阵
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